平歯車の2段減速、減速比7.5の出力トルクとバックラッシを歯数から計算する

例として、出力軸にアームやテーブルを付けてワークを搬送する場面を考えます。ワークにとって問題になるのは、出力軸のトルクと回転数、それに歯車のバックラッシで出力軸がどれだけ回転方向にガタつくかです。どれも歯数とモデルの寸法から計算できます。

減速比の計算は簡単で、歯数の比で決まります。タイミングベルトのプーリーと同じ考え方で、2段なら各段の比を掛けるだけ。このモデルは1段目が18歯と54歯、2段目が18歯と45歯なので、3×2.5で7.5です。回転数は7.5分の1に下がりますが、トルクは損失を除けば7.5倍になります。

一方、CADで組むときには注意が必要です。18歯と54歯の歯車を、歯の中心を同じ向きにそろえたまま中心距離どおりに並べると、軸間の線の上で歯と歯が正面から干渉します。

奥の54歯と手前の18歯は、同じ軸に付いた一体の部品です。次の3Dでは、入力の小さな歯車が2.5回転するあいだに、オレンジの出力歯車が3分の1回転しか進まないことを見てください。

回転数とトルクを交換している

入力軸を1,500rpm、1N·mとして、各軸の値を計算しました。

軸	回転数	トルク
入力軸	1,500rpm	1.0N·m
中間軸	500rpm	3.0N·m
出力軸	200rpm	7.5N·m

回転数とトルクから動力を出すと、どの軸でも157Wになります。

つまり歯車は動力を増やさず、回転数とトルクを交換しているだけです。次の図では、3本の点線がどれも同じ曲線の上で交わることを見てください。

もちろん、実際には損失が入ります。平歯車1組の効率は98.0〜99.5%とされていて¹、低いほうの98%で2段分計算すると、出力軸のトルクは7.2N·mです。ただし歯のかみ合いだけの値なので、軸受の損失などは別に見込みます。ワークを搬送するアームに使えるのは、この7.2N·mから軸受の損失を引いたトルクです。出力軸から半径rの位置でワークに出せる力は、トルク ÷ rで決まります。

回転角を時間で並べると、回転数の差がそのまま線の傾きに表れます。ただし、このグラフは表の1,500rpmではなく、3Dの動きと同じ入力軸25rpmで描きました。6秒間で入力軸は900度、中間軸は300度、出力軸は120度です。次のグラフでは、3本の線の傾きの比を見てください。

後ろの段ほど歯車を大きくする

1段目と同じ歯車で2段目を組むと、トルクが3倍なので、歯元の負荷もそのまま3倍になります。そこでモデルでは、2段目のモジュールを2から3に上げ、基準円の直径を36mmから54mmに広げました。歯にかかる円周力は、トルク÷基準円の半径で計算しました。

1段目 Ft = 1.0 N·m ÷ 0.018 m = 55.6 N
2段目 Ft = 3.0 N·m ÷ 0.027 m = 111.1 N

歯車を大きくしても、円周力はまだ2倍あります。

だから歯幅も12mmから16mmに広げました。歯元の曲げ応力は、円周力を歯幅とモジュールの積で割った値に比例するからです²。

1段目 55.6 ÷ (12 × 2) = 2.31 N/mm²
2段目 111.1 ÷ (16 × 3) = 2.31 N/mm²

どちらの小歯車も18歯で歯の形は相似なので、この値がそろえば、歯元の負荷もそろうと見てよいでしょう。

2.31N/mm²に余裕がどれだけあるかは、許容歯元曲げ応力と比べると見当がつきます。モデルに使ったS45Cは小原歯車工業の表にないので、近いS43CとS48Cを焼ならしの欄で見ると、硬さによっておよそ17〜22kgf/mm²、約165〜215N/mm²です²。2.31N/mm²は歯形係数などを掛ける前の値なので、そのまま比べることはできません。それでも70倍以上の開きがあり、入力1N·mのこのモデルなら、歯の強さには大きな余裕があると考えられます。

実際の強度は材料や精度の係数を入れて計算するので、ここまでは寸法を決めるための目安です。最終の判断はメーカーの資料と設計基準に任せます。

18歯という数は、圧力角20度の切下げ限界17.1をわずかに上回るところです³。切下げの意味と歯形の寸法は、ラック・アンド・ピニオンの記事を見てください。かみ合い率は1段目が1.65、2段目が1.63で、必要な1を超えています⁴。

出力軸のバックラッシと、歯車どうしのクリアランス

モデルの歯は、円周方向のバックラッシを1段目で0.1mm、2段目で0.12mm取れるように、2枚の歯車で半分ずつ薄くしてあります。出力軸の回転方向のガタは、2段目のバックラッシを出力歯車の基準円の半径で割った角度に、1段目のバックラッシを中間軸の角度に直して減速比で割った角度を足して求めます。

2段目  0.12 mm ÷ 67.5 mm = 0.00178 rad
1段目  0.1 mm ÷ 54 mm ÷ 2.5 = 0.00074 rad
出力軸  0.00178 + 0.00074 = 0.00252 rad = 0.144°

出力軸から半径rの位置では、ワークの位置がr × 0.00252だけ回転方向に動けます。例として半径100mmの位置なら、100 × 0.00252 = 0.25mmです。ワークを搬送するあいだトルクの向きが変わらなければ歯面は片側に当たったままですが、加速と減速で向きが変わるなら、このガタの分だけ位置がずれます。

モデルでは3本の軸が一直線に並び、1段目の歯車は奥、2段目の歯車は手前の層にあります。軸の方向から見ると、中間軸の54歯の大歯車と出力歯車は重なっています。入力軸からの距離で並べると次のとおりです。

中心距離        1段目 2 × (18 + 54) ÷ 2 = 72 mm、2段目 3 × (18 + 45) ÷ 2 = 94.5 mm
出力軸の位置    72 + 94.5 = 166.5 mm
54歯の歯先      72 + 2 × (54 + 2) ÷ 2 = 72 + 56 = 128 mm
出力歯車の歯先  166.5 − 3 × (45 + 2) ÷ 2 = 166.5 − 70.5 = 96 mm

96mmから128mmのあいだの32mmで、2枚の歯車が重なります。2枚を分けているのは軸方向のクリアランスです。2段目の歯幅の中心を0として奥へ測ると、歯幅の中心が16mmにある1段目の歯車の手前の面は16 − 12 ÷ 2 = 10mm、2段目の歯車の奥の面は0 + 16 ÷ 2 = 8mmの位置にあり、そのあいだの2mmがクリアランスです。

CADで組むときは位相を合わせる

冒頭の歯の干渉をなくすには、片方の歯車を回して、歯を相手の溝に合わせます。

では、どれだけずらせばよいのか。54歯のほうを半ピッチ、360÷54÷2で3.33度回すと、歯が溝に入ります。モデルでは、歯車aの角度から歯車bの角度を次の式で決めました。δはaから見たbの向きです。

ψb = δ + 180° + 180°/zb − (za/zb)(ψa − δ)

180°/zbが半ピッチのずらしで、最後の項が回転の比。2段目も同じ式で決めるので、出力歯車も自然にかみ合います。

位相のずれによる歯の干渉や、前の節の2mmのような軸方向のクリアランスは、組み立てた3Dで部品の組ごとに確認します。部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く示す機能は、装置設計の支援アプリ MEKARIQ にもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）工程表の時刻をスライダで動かすと、歯車が回る途中のクリアランスも確認できます。

もう1つ、歯数の組み合わせにも判断が必要です。18と54は割り切れるので、54歯の1回転ごとに同じ歯の組がかみ合います。どこかの歯に傷があれば、毎回同じ相手を傷めることになるでしょう。54歯を55歯に変えると、同じ組がかみ合うのは18歯が55回転するごとで、減速比は3.06にずれます。

ちょうどの数字か、歯当たりの分散か。このモデルは計算を追いやすいよう、ちょうどの数字を取りました。

次の動画では、3本の軸が一直線に並んだまま、出力歯車がゆっくり回る様子を見てください。

減速比の数字はすぐに出ます。設計に時間がかかるのは、その先で歯幅とモジュールをどう割り振るかのほうです。その前に、出力軸に付けるワークの質量と出力軸からの距離、ワークに必要な位置決め精度、搬送中にトルクの向きが変わるかは、モデルでは決まりません。客先に確認する項目です。AI が決めきれないこうしたワークの条件を、MEKARIQ は客先への確認事項として一覧にします。

2026年10月31日 更新：歯元の応力と比べる目安として、許容歯元曲げ応力の値を足しました。

2026年11月9日 更新：出力軸に付けるワークから見たトルクとバックラッシ、歯車どうしのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「歯車の種類」（2026年10月30日に確認）。同ページは2015年当時のデータと注記しています。 ↩

2. 小原歯車工業「平歯車及びはすば歯車の曲げ強さ計算式」（2026年10月30日に確認。表面硬化しない歯車の許容歯元曲げ応力の表は2026年10月31日に確認）。同ページも2015年当時のデータと注記しています。 ↩ ↩

3. 小原歯車工業「切下げ」（2026年10月30日に確認）。 ↩

4. 小原歯車工業「インボリュート歯車のかみ合い」（2026年10月30日に確認）。 ↩