タイミングベルトの長さ計算とプーリーの速度比。中心距離は歯数で決まる

ワークを搬送する軸をモーターからタイミングベルトで駆動するとき、ワーク仕様から決まるのは、従動軸に必要な回転数とトルクです。そこから速度比とベルト幅が決まり、装置の中のスペースから中心距離が決まります。ところが中心距離だけは、図面に引いた値のままでは使えません。

ピッチ5mm、20歯と40歯のプーリーを中心距離100mmで配置すると、必要なベルト長さは352.54mmです。歯数に直すと70.51歯です。半端な歯のベルトは作れないので、歯数を整数に丸めて、中心距離のほうを計算し直すことになります。

タイミングベルトは歯がプーリーの溝にかみ合うので、滑らずに回転を伝えます¹。そのかわり、中心距離は任意の値に決められません。下のモデルでは70歯を選び、中心距離は98.71mmになりました。従動プーリーが1回転するあいだに駆動プーリーは2回転し、ベルトは40歯分進みます。3Dでは、速さを0.25倍に落とすと、歯が溝に入っていくところまで追えるはずです。

このモデルは動きを見るためのもので、歯形は市販品の曲線を写さず、カタログの寸法²を参考にした模式の台形にしました。手前のフランジは、かみ合いが見えるように省いています。ベルトは歯1枚ごとの部品をつないで動かしているため、曲がるところの背がわずかに折れ線に見えます。歯と溝が干渉しないことは、1ピッチ分の6コマでブーリアン演算の干渉体積を計算して確認し、どのコマも0でした。

速度比は歯数の比で決まる

速度比は歯数の比で、このモデルなら40÷20で2です。どちらのプーリーでも、1秒に通過するベルトの歯の数は同じだからです。1,500rpmで駆動すると、従動側は750rpmになります。

計算に使う直径は、プーリーの外径ではなくピッチ円直径です。ベルト長さの基準になるピッチ線は、引張りを受ける心線の中を通っていて³、プーリーの外周より少し外側にあります。このモデルが寸法を借りた三ツ星ベルトのS5M（ピッチ5mmの丸歯）では、その距離が0.48mmです²。

ピッチ円直径 = ピッチ × 歯数 ÷ π
20歯 dp = 5 × 20 ÷ π = 31.83 mm（外径 30.87 mm）
40歯 Dp = 5 × 40 ÷ π = 63.66 mm（外径 62.70 mm）
周速 v  = π × 31.83 × 1500 ÷ 60000 = 2.50 m/s

ノギスで測れるのは外径なので、外径を式に入れたくなります。中心距離100mmで計算すると349.52mmで、歯数なら69.90歯です。本来の70.51歯とは、丸める先が変わってしまいます。70歯で逆算しても中心距離は100.24mmとなり、正しい98.71mmから1.53mmずれます。

長さの式は近似式でほぼ足りる

式は、カタログの近似式⁴と、直線部と円弧をそのまま足す厳密な式の2つです。Cは中心距離（カタログでは軸間距離）です。φは直線部の傾きで、小プーリーの巻き付き角は180° − 2φ、大プーリーは180° + 2φになります。

近似式   L = 2C + π(Dp + dp)/2 + (Dp − dp)²/(4C)
厳密な式 L = 2C cos φ + π(Dp + dp)/2 + φ(Dp − dp)
         φ = asin((Dp − dp)/(2C))  φ はラジアン

C = 100 mm のとき
近似式   200 + 150 + 2.5330 = 352.5330 mm
厳密な式 197.4507 + 150 + 5.0877 = 352.5384 mm（φ = 9.16°）

差は0.005mmです。このモデルでは問題になりません。

ただし、差は歯数比が大きいほど開きます。14歯と84歯を中心距離100mmに詰めると、近似式は476.03mm、厳密な式は476.92mmで、0.89mmの差です。歯数にして0.18歯分なので、小数部が境目に近ければ丸める先が変わります。

歯数を丸めると中心距離が変わる

丸めたあとの中心距離も、カタログに式があります⁴。ここではL=350mm（70歯）を入れました。

b = 2L − π(Dp + dp) = 700 − 300 = 400
C = (b + √(b² − 8(Dp − dp)²)) / 8
  = (400 + 389.74) / 8 = 98.72 mm

厳密な式から逆に解くと98.714mmで、モデルにはこちらを使っています。

歯が1つ増えるごとに、中心距離は約2.53mm広がります。ところがベルトは、どの歯数でも選べるわけではありません。三ツ星ベルトのS5Mの一覧は340mm、350mm、360mm、375mmと飛んでいて、69歯も71歯もないのです⁵。次のグラフでは、青い階段の段の幅を見てください。

100mmちょうどの段はどこにもありません。70.51歯なら71歯に丸めたいところですが、一覧にないので70歯か72歯のどちらかです。この2段のあいだで、中心距離は5.06mm変わります。

メーカーが変われば一覧も変わります。GatesのHTDの一覧には69歯があり、やはり71歯はありません³。しかも丸歯のベルトは、一部のメーカーを除いて互換性がないのです⁶。そのため、歯数を決める前に、ベルトのメーカーを決めておくことになります。

どうしても100mmに近づけたいなら、プーリーの歯数を変える方法があります。速度比2のまま、S5Mの標準プーリーとベルトの一覧を総当たりしました。1,500rpmの行はカタログの表にないので、1つ上の1,750rpmの行を読み、小プーリーは20歯以上に絞っています⁷。各組でいちばん近いベルトを並べ、22歯と44歯は近くても103.52mmなので省きました。20歯と40歯だけは72歯も載せています。

プーリーの歯数	ベルト歯数	中心距離
20と40	70	98.71mm
20と40	72	103.78mm
24と48	77	100.68mm
25と50	78	99.25mm
30と60	86	99.63mm

この範囲に、ちょうど100mmになる組はありません。いちばん近い30歯と60歯は99.63mmですが、大プーリーの外径が62.70mmから94.53mmへ大きくなります²。中心距離のずれと外形の大きさのどちらを取るかは、装置のスペースで決まるでしょう。

プーリーまわりのクリアランスは外径とベルトの背で決める

周辺の部品やワークの搬送経路とのクリアランスは、ピッチ円ではなく、プーリーの外径とベルトの背で決まります。モデルでは、ベルトの歯の付け根がプーリーの外周から0.02mm離れ、そこから背まで1.50mmあります。中心距離98.71mmでの寸法は次のとおりです。

プーリーどうしのクリアランス  98.71 − (30.87 + 62.70) ÷ 2 = 51.93 mm
ベルトの背の外径              小 30.87 + 2 × 1.52 = 33.91 mm
                              大 62.70 + 2 × 1.52 = 65.74 mm
軸方向から見た全長            98.71 + 33.91 ÷ 2 + 65.74 ÷ 2 = 148.54 mm

この148.54mm×65.74mmの範囲は、プーリーとベルトが回転しながら占める範囲です。周辺の部品やワークの搬送経路は、この外側に必要クリアランスを取って配置します。後の節で書くように、ベルトを掛けるには中心距離を縮める必要があり、軸受台を移動させる範囲もこのクリアランスに含めて考えます。

こうした部品の組ごとのクリアランスは、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでも確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。

かみ合い歯数は6歯を下回らないようにする

小プーリーにかみ合っている歯の数も、中心距離で変わります。98.71mmの巻き付き角は161.44度なので、20×161.44÷360で8.97です。端数を切り捨てて8歯です⁸。

三ツ星ベルトは6歯以上を推奨し、4歯未満は歯飛びが起こりやすいとして勧めていません⁸。歯飛びは、ベルトの歯が溝を乗り越えてずれる現象です。ベルトが伝えられる動力（伝動容量）に掛ける係数も、5歯で0.8、4歯で0.6と下がっていきます。

歯数比を大きくすると、結果が変わります。14歯と56歯、14歯と84歯で計算しました。S5Mの標準プーリーは60歯までで、14歯が許されるのは表の870rpmの行までなので⁷、どちらも傾向を見るための組です。次のグラフでは、それぞれの線が6に届く中心距離を見てください。

20歯と40歯はピッチ円が接するまで詰めても7歯あるので、ここで迷うことはありません。ところが14歯と84歯では、中心距離が250mmを超えるまで6歯に届きません。1段で大きな減速比を取りながら軸間を詰めたい装置では、この条件が制約になりそうです。

動画では、下側の直線部から小プーリーの溝へ歯が入っていきます。

小プーリーの巻き付き範囲で、溝にかみ合っている歯の数を見てください。

トルクから張力の目安を出す

駆動軸に1,500rpm、2N·mをかける場合で計算しました。従動側は損失を除いて4N·mになり、速度とトルクを交換する関係は平歯車の減速と同じです。

ベルトにかかる力の基準は有効張力で、張り側とゆるみ側の張力の差を指します。トルクとピッチ円直径から決まり⁹、このモデルでは下側の直線部が張り側です。

有効張力 Te = 2 × 2 N·m ÷ 31.83 mm × 1000 = 125.7 N
伝動動力 P  = 125.7 N × 2.50 m/s ÷ 1000 = 0.314 kW

ベルト幅は、過負荷係数を掛けたトルクで選定します。たとえばボール盤を誘導モーターで1日5時間までなら、負荷補正が1.4、回転比2の補正が0.2で、係数は1.6です⁹。設計トルクは3.2N·mです。S5Mの20歯、1,500rpmの許容トルクは幅10mmで2.76N·mしかないので不足します。幅15mmなら補正1.59を掛けて4.39N·mとなり、許容範囲に収まります。

ベルトを掛けるときに与える張力（取付張力）は、幅15mmで91.9〜123Nです⁹。張り側とゆるみ側の和が一定とみる単純な計算だと、2N·mならゆるみ側に29〜60Nが残ります¹⁰。

ただし、設計トルクの3.2N·mを入れると、有効張力は201Nに増え、ゆるみ側は−8.6〜22Nに下がります。下限の91.9Nで張ると、計算の上では0を下回る値です。取付張力には、ピーク負荷での歯飛びを防ぐ役目があるので¹⁰、トルクが設計値まで上がる装置なら、範囲の上のほうで張るのが無難でしょう。

軸受にかかる静止時の軸荷重と、張力の確認に使うたわみ荷重も、同じカタログの式で計算できます⁹。

軸荷重     Fs = 2 To sin(θ/2) = 181〜243 N
スパン長さ Ls = √(C² − (Dp − dp)²/4) = 97.42 mm
たわみ量   δ  = 1.6 × 97.42 ÷ 100 = 1.56 mm
たわみ荷重 Tδ = (To + Ls × Y ÷ L) ÷ 16 = 7.2〜9.2 N（Y = 85.5）

Toは取付張力、θは小プーリーの巻き付き角、Yはカタログの幅ごとの値、Lはベルト長さ（350mm）です。

直線部（スパン）の中央を7.2〜9.2Nで押して1.56mmたわめば、取付張力は範囲に入っています。181〜243Nは、軸受を選ぶときの出発点になる荷重です。ここまでの値はどれも目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

軸受台は移動できるようにしておく

ベルトを掛けるには、中心距離をいったん縮める必要があります。三ツ星ベルトの表ではS5Mの内側調整代が10mm、長さ508mm以下の外側調整代が2mmです¹¹。このモデルなら、軸受台を88.71〜100.71mmの範囲で移動できるように作ることになります。調整代の内側の端では、プーリーどうしのクリアランスは88.71 − (30.87 + 62.70) ÷ 2 = 41.93mmまで縮みます。

Gatesの資料には、中心距離を固定する設計を動力伝達に使わないよう書かれています¹²。やむを得ず固定するときの精度は0.05〜0.08mmです。一方でベルト自体に±0.46mmの長さ公差があり¹¹、中心距離に直すと±0.23mmです。ベルトの公差だけで、その数値を超えてしまいます。

もう一つ、タイミングプーリーにはふつうクラウン（中高）がなく、ベルトは片側に寄ります。水平軸で中心距離が小プーリー径の8倍（ここでは254.6mm）より短いなら、小プーリーの両側にフランジが必要です¹¹。モデルで省いた手前のフランジは、実機では省けません。周辺部品とのクリアランスも、フランジを付けた形で確認します。

100mmで引いた図面の線は、歯数を決めた時点で98.71mmに変わります。そのため、中心距離の寸法を記入するのは、ベルトのメーカーと歯数が決まってからです。軸受台の長穴の長さも、そのとき一緒に決まります。従動軸に必要なトルクと回転数のもとになるワークの質量と搬送速度、ベルトを配置できるスペースは、先に客先に確認しておく項目です。

2026年11月9日 更新：装置に組み込んだときのプーリーまわりのクリアランスを加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 三ツ星ベルト「タイミングベルト カタログ・設計資料」（2026年10月版）p.9（2026年10月31日に確認）。ページ番号は紙面の番号で、PDFの通し番号は三ツ星、Gatesとも2つ後ろです。 ↩

2. 同カタログ p.22、p.94、p.164（S5MのPLD、溝の幅と深さ、ベルトの厚さ、ピッチ径と外径）。モデルのベルト幅15mmとプーリーの歯幅17mmも同じページから取りました。 ↩ ↩ ↩

3. Gates「Light Power & Precision Drive Design Manual」 p.38、p.40（2026年10月31日に確認。販売店が公開しているPDFを読みました）。 ↩ ↩

4. 三ツ星ベルトの同カタログ p.141、p.146。厳密な式は巻き付きの幾何から編集部で書き下したものです。 ↩ ↩

5. 同カタログ p.22（スーパートルクG S5Mのベルトサイズ）。 ↩

6. 同カタログ p.173。 ↩

7. 同カタログ p.94（標準プーリーの歯数）、p.144（S5Mの許容最小プーリ歯数は870rpmで14歯、1,160rpmで16歯、1,750rpmで20歯）。 ↩ ↩

8. 同カタログ p.146、p.173。端数の切り捨ては同カタログ p.147の選定例とGatesの資料 p.104 によります。 ↩ ↩

9. 同カタログ p.23（許容トルク、幅補正係数）、p.141（有効張力、軸荷重、スパン長さの式）、p.142（過負荷係数）、p.155（たわみ荷重の式）、p.156（S5Mの取付張力とY値）。有効張力を張り側とゆるみ側の差とする定義はGatesの資料 p.104 によります。 ↩ ↩ ↩ ↩

10. 91.9 − 125.7 ÷ 2 = 29.1N、123 − 125.7 ÷ 2 = 60.2N、3.2N·mでは91.9 − 201.1 ÷ 2 = −8.6N、123 − 201.1 ÷ 2 = 22.5N。どれも編集部の単純な計算です。Gatesの資料 p.65 にある静止張力の式の第1項（1.21 × トルク ÷ ピッチ径）は、Gatesのベルト全般向けで三ツ星のS5M向けではありませんが、2N·mで76Nになります。歯飛びを防ぐ役目はGatesの資料 p.64 によります。 ↩ ↩

11. 三ツ星ベルトの同カタログ p.152（調整代）、p.159（長さ254mmをこえ381mm以下の公差）、p.165（フランジ）。 ↩ ↩ ↩

12. Gatesの資料 p.67。同じページに、固定にすると部品の公差の組み合わせで張力が3倍以上変わりうるとあります。 ↩