ラック・アンド・ピニオンでワークを搬送する。送り量π×モジュール×歯数と、往復の位置決めに出るバックラッシ

例として、ワークを載せたスライダをラック・アンド・ピニオンで搬送し、決まった位置で停止させる場面を考えます。ワークの側から決まるのは、必要なストロークと推力、停止位置に求める位置決め精度、そして片方向に送るのか往復して同じ位置に止めるのか、です。ストロークから先に見ると、ピニオンを1回転させたときのラックの移動量は「π×モジュール×歯数」で、モジュール3、歯数20のこのモデルなら188.5mmです。

ボール盤のハンドル送りや自動車のステアリングも、同じ関係で動きます。下のモデルではピニオンを左右に90度ずつ揺動させていて、ラックの往復ストロークは188.5mmの半分の94.2mmです。再生速度を0.25倍に落とすと、歯が1枚ずつかみ合いを受け渡すところまで追えます。ストロークの端で、ラックの端がピニオンからどれだけ残っているかも見てください。

歯1枚ぶん回ると、ワークは1ピッチ進む

ラックの歯の間隔（ピッチ）はπ×モジュールで、このモデルでは9.425mmです。ピニオンが歯1枚ぶん、つまり360÷20で18度回転すると、ラックはちょうど1ピッチ進みます。1回転なら20ピッチです。小原歯車工業の技術資料にも、平歯車1回転に対するラックの移動量は「基準ピッチの歯数倍」とあります¹。

途中の角度でも計算できるように、基準円の半径を使って書き直しました。基準円の直径はモジュール×歯数で60mm、半径なら30mmです。

x = r θ = 30 θ [mm]（θ はラジアン）
1回転: x = π m z = π × 3 × 20 = 188.5 mm

次のグラフでは、歯数を変えたときの線の傾きを見てください。

ピニオンの回転角で停止位置を決めるなら、歯数20では回転角の誤差1度が、ワークの位置で0.524mmの位置ずれになります。歯数を増やせば同じ回転角で速く搬送できますが、ラックを押す力はそのぶん減ります。ピニオンの軸に10N·mをかけると、損失を除いて、歯数20なら10÷0.030で333Nです。

歯数30では半径が45mmになるので、222Nまで下がります。この推力で足りるかは、ワークとスライダの質量、ガイドの摩擦、搬送時の加速度で決まります。どれも客先のワーク仕様と工程から決める値です。

歯形はインボリュートから計算した

モデルのピニオンは、歯面を1枚ずつ計算して作りました。使ったのはインボリュート曲線で、基礎円に巻きつけた糸を引きほどくときに糸の先端が描く曲線です²。寸法はモジュールと歯数から順に決まります¹。

基準円 d  = m z       = 60 mm
基礎円 db = d cos 20° = 56.38 mm
歯先円 da = d + 2m    = 66 mm
歯底円 df = d − 2.5m  = 52.5 mm

モジュール3は、JISの標準値のうち優先して使うI列にあります³。歯数を20にしたのは、圧力角20度の標準平歯車では、歯数が17.1を下回ると切下げが起きるためです⁴。切下げとは、歯元の歯形の一部が加工の工具で切り取られてしまう現象です。

かみ合っている歯が常に何組あるかは、かみ合い長さを基礎円ピッチで割った値（かみ合い率）で分かります。歯車が正しく回転を伝えるには、この値が1より大きくなければなりません⁵。このモデルのラックとの組み合わせでは、1.77になりました。

ε = ( √(ra² − rb²) − r sin α + m / sin α ) ÷ (π m cos α)
  = ( √(33² − 28.19²) − 30 sin 20° + 3 / sin 20° ) ÷ 8.856
  = 15.67 ÷ 8.856 = 1.77

1.77の小数部は、2組でかみ合う時間の割合を表します。残りの23%は1組だけです。次のグラフでは、2組の段と1組の段の幅を見比べてください。

相手が歯車になると、式のm / sin αが相手の歯車の項に替わります。平歯車の2段減速の18歯と54歯なら1.65です。

分離力とバックラッシは、往復の位置決めに出る

歯面が傾いているので、ラックを押す力には必ず、ラックをピニオンから引き離す向きの分力（分離力）が付いてきます。大きさは円周力×tan 20度で⁶、333Nで押すなら121Nです。ラックの裏側でこの力を受けきれないと、中心距離が開き、バックラッシが増えてしまいます⁷。

モデルでは、ラックの下面とガイドのレールの間に0.2mm、ラックの側面と左右にある案内の壁との間にも0.2mmずつのクリアランスを取っています。ここで仮に、分離力でラックがレールに当たるまで0.2mm下がり、中心距離がΔa = 0.2mm開いたとします。歯面は圧力角20度で傾いているので、左右の歯面それぞれで円周方向の遊びがΔa tan 20°ずつ増えます。

バックラッシの増加量 = 2 × Δa × tan 20° = 2 × 0.2 × 0.364 = 0.146 mm

これは、レールとのクリアランスの0.2mmをすべて下がったと仮定したときの値で、モデルに持たせたバックラッシの0.1mmより大きくなります。実際にどれだけ下がるかは、ラックの押さえ方やピニオン軸の支持で変わり、モデルの寸法からは決まりません。往復して停止位置を合わせる装置では、この増加分もバックラッシと同じく送り方向の位置ずれになると考えられるので、ラックの裏側を受けるガイドのクリアランスは、送り方向の位置決め精度とあわせて検討します。

バックラッシは歯面間の遊びで、滑らかに回すために必要なものです⁷。このモデルには0.1mm持たせました。ピニオンの角度にすると0.19度ほどです。片方向に送るだけなら影響は出にくいのですが、往復して同じ位置に止めたい装置では、この0.1mmがそのままワークの位置ずれになるでしょう。

ラックの長さは、ストロークより長く取ります。モデルのラックは16歯で150.8mmあり、94.2mmのストロークの端まで動いても、ラックの端はピニオンの中心から28.3mm先に残ります。150.8mmの半分の75.4mmから、片側のストローク47.1mmを引いた値です。それでも足りないときは継ぎ足せますが、端面を突き当てるだけではピッチが合いません⁷。

ストローク端のラックの端と、ピニオンや軸受との最短距離は、動作の途中で変わります。提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでは、こうした部品の組ごとのクリアランスを動作の時点ごとに確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、揺動の各時点のクリアランスを確認できます。

動画では、ピニオンの揺動に合わせてラックが往復する様子を見てください。

ワークの質量や、停止位置に求める位置決め精度、往復で同じ位置に止めるかどうかは、モデルの寸法からは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。条件がそろえば、必要なストロークと速さからπmzで当たりを付け、トルク÷半径で推力を確認する。最初の検討は、この2行の計算でおおむね足ります。

2026年11月9日 更新：ワークを搬送する場面を中心に、ガイドのクリアランスとバックラッシの計算を加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「平歯車・ラックの寸法計算」（2026年10月30日に確認）。 ↩ ↩

2. 小原歯車工業「インボリュート曲線」（2026年10月30日に確認）。 ↩

3. 小原歯車工業「歯車の歯形及び寸法」（2026年10月30日に確認）。表はJIS B 1701-2:1999からの抜粋です。現行の2017年版の本文は確認していません。 ↩

4. 小原歯車工業「切下げ」（2026年10月30日に確認）。 ↩

5. 小原歯車工業「インボリュート歯車のかみ合い」（2026年10月30日に確認）。 ↩

6. 小原歯車工業「歯車に働く力（平行軸歯車）」（2026年10月30日に確認）。 ↩

7. 小原歯車工業「歯車Q&A（よくある質問）」（2026年10月30日に確認）。 ↩ ↩ ↩