間欠歯車（欠歯歯車）でワークを90度ずつ割り出す、送り角と停止時間とロックの遊び

例として、従動側の軸にワークを載せたテーブルを取り付け、4か所のステーションへ90度ずつ割り出す場面を考えます。間欠歯車の寸法を決める前に必要なのは、ワーク側の条件です。1回に何度送るか、停止中にワークの供給や加工に何秒必要か、停止位置のずれをワークの位置で何mmまで許すか、ワークとテーブルの慣性がどれだけか。送り角と停止時間の割合は歯数で、停止位置のずれはロックのクリアランスで決まります。許容できる位置ずれと必要な停止時間は図面だけでは決まらないので、客先に確認する項目です。

20歯どうしの歯車で駆動側に歯を4枚だけ残すと、1回転で従動側は5歯ぶん進みます。4枚なのに5歯です。差の1歯は、かみ合い率が1を超える0.56歯と、最後の歯がかみ合いの線を外れたあと歯先の角で押す0.44歯でできています。

間欠歯車（欠歯歯車）は、歯を一部だけ欠いた歯車で、歯がないあいだ従動側を停止させておく間欠運動機構です。下のモデルでは、モジュール4で20歯ぶんの円周に4歯だけを残した駆動側と、20歯の従動側を、中心距離80mmで組みました。駆動側が4回転するあいだに、従動側は90度ずつ4回送られて1回転します。オレンジの歯車にあけた穴を目で追うと、送られては停止する様子が分かるはずです。

歯形は標準の平歯車（圧力角20度）の寸法¹で作った模式で、歯元のすみに付ける丸みは簡略にしました。奥の段に重ねたのは、停止中に従動側を拘束するロックの円板と、くぼみを切った板です。従動側は歯に押されたぶんだけ回転し、惰性では進まないものとして、駆動側を0.05度ずつ回しながら、歯どうしが干渉しない角度を解きました。歯どうし、ロックどうしの干渉体積は、送りの区間を駆動側2度ごと、停止の区間を30度ごとに、計66コマで求め、どれも0でした。

最後の歯は、線を外れても押している

標準の歯車どうしでは、1組の歯がかみ合っている長さは、歯1枚ぶんの間隔より長くなります。この比がかみ合い率で、1より大きくないと回転を正しく伝えられません²。モデルの20歯どうしなら1.56です。

4枚が順に押すと、最初の歯が接触してから、最後の歯がかみ合いの線を外れるまでで4.56ピッチです。駆動側の角度にして82.2度のあいだ、従動側は駆動側と同じ速度で回転します。

かみ合いの線の上で押す長さ = (残す歯の数 − 1) + かみ合い率
                         = 3 + 1.56 = 4.56 ピッチ
1回の送り = 4.56 ピッチ + 歯先の角で押す 0.44 ピッチ（モデルの値） = 5 ピッチ = 90°

では、線が終わる位置で従動側が停止したらどうなるでしょうか。モデルをそこで止め、駆動側だけをさらに2度回すと、最後の歯先が従動側の歯に33.8mm³干渉しました。4度なら93.8mm³です。従動側が停止できない以上、最後の歯は歯先の角で相手の歯面を押しながら抜けていき、駆動側が13.4度回るあいだに残りの7.9度を送ります。

残す歯を3枚、9枚に変えて同じように解いても、送りは4歯、10歯でした。送りが半端なピッチにならないのは、最後の歯先が毎回、2つの歯先円が交わる点で抜けて、従動側が同じ歯並びで停止するからです。かみ合い率が1と2のあいだなら、線の上だけで残す歯の数より多く進むので、送りは少なくとも1歯多くなります。

ただ、ちょうど1歯多いかは歯数によります。同じ解き方で24歯どうし（かみ合い率1.60）と30歯どうし（1.65）を解くと、4歯で6歯ぶん送りました。かみ始めの歯が線の始まりより手前で接触し、従動側が一瞬、駆動側の1.5〜3倍の速度で弾かれます。20歯どうしは、停止した歯がちょうど線の始まりで接触する組み合わせでした。

送り角と停止時間の割合を、歯数から出す

このモデルの1回の送りは、従動側のピッチ角に「残す歯の数＋1」を掛けた角度です。送りのあいだ速度比が一定だとみなせば、送りに使う駆動側の角度と、停止時間の割合も送り角から出ます。

従動側の1回の送り     = (k + 1) × 360° ÷ z2 = 5 × 18° = 90°
送りに使う駆動側の角度 = 送り角 × z2 ÷ z1 = 90°
停止時間の割合        = 1 − (送り角 ÷ 360°) × (z2 ÷ z1) = 75%
  送りが k + 1 歯なら = 1 − (k + 1) ÷ z1 = 1 − 5 ÷ 20
送り中の速度比        = z1 ÷ z2 = 1倍

kは残す歯の数、z1は欠く前の駆動側の歯数、z2は従動側の歯数です。ただ、モデルを解いた値では、駆動側が95.5度回るあいだ送り、残りの264.5度は停止していました。停止時間の割合は73.5%で、式より1.5ポイント少なくなります。歯先の角で押す区間では従動側が遅くなり、そのぶん駆動側が余分に回るためです。

ワークにとっての停止時間は、駆動側の回転数から決まります。駆動側を60rpmで回すと1回転は1秒なので、モデルの値で次のようになります。

停止時間  264.5 ÷ 360 × 1 s = 0.735 s
送り時間   95.5 ÷ 360 × 1 s = 0.265 s

停止中にワークの供給や加工が0.735秒に収まらないなら、駆動側の回転数を下げるか、停止時間の割合が大きい歯数の組み合わせを選びます。

中心距離80mmとモジュール4はそのままに、組み合わせを変えると次のようになります。

駆動（残す歯）と従動	1回の送り	停止時間の割合
20歯（4歯）と20歯	90°	75%
20歯（3歯）と20歯	72°	80%
20歯（9歯）と20歯	180°	50%
24歯（3歯）と16歯	90°	83.3%
16歯（5歯）と24歯	90°	62.5%

表の値は式から出したものです。同じ解き方でモデルを動かすと、送りはどの行も表のとおりで、停止時間の割合は1.4〜1.8ポイント低くなりました。

停止時間の割合の式から、送り角が同じなら影響するのは歯数の比z2÷z1だけだと分かります。送りを90度にそろえた3行でも、停止時間の割合を上げるには、駆動側を大きく、従動側を小さくするしかありません。たとえば24歯と16歯なら83.3%まで上がる一方、送り中の速度は駆動側の1.5倍になります。なお16歯は、圧力角20度の標準の歯形では切下げが起きる歯数です³。

かみ始めで、速度は一気に1倍になる

次のグラフは、駆動側を一定の速度で回したとき、従動側がどんな速度で回転するかを示します。比べる相手は、同じ中心距離80mmで、同じく90度ずつ送るゼネバ機構です。違いがいちばんはっきり出る、間欠歯車の線の両端を見てください。

間欠歯車の速度は、かみ始めた瞬間に0から1倍へ跳びます。モデルでは、解いた刻みの2つぶん（0.1度）で1倍に達しました。送り中のピークは1倍で、ゼネバの2.41倍の半分にも届きません。終わりは、歯先の角で押す13.4度のあいだに0.2倍まで下がり、そこで0に落ちます。

ピークが低いのは長所ですが、段差は別の問題です。剛体どうしなら、速度を一瞬で変えることになり、加速度に上限がありません。実際の機械では歯がたわんで、そこに衝撃が出ます。欠歯歯車を扱った中国の特許も、背景技術の段落で、かみ合う瞬間に速度が急に変わると衝撃振動が生じ、歯を傷めやすいと指摘します⁴。間欠運動機構をまとめたBickfordの本は、ゼネバの加減速を比較的好ましいとしたうえで、欠歯歯車を「激しい衝撃を生む」と書きました⁵。テーブルに載せたワークにとっては、この衝撃が載置位置のずれや転倒の原因になると考えられます。ワークを位置決めピンで拘束するか、摩擦だけで載せるかも、客先に確認する項目です。

一方で、長く送って短く停止する使い方は欠歯歯車の得意な領分です。Bickfordによれば、出力1回転あたり1〜3回の停止も作れます⁵。ゼネバについては同じページで、ふつう1回転に4回以上停止し、3回のものは扱いにくく、1回と2回は作れないと書いています。表で9歯を残した行は、出力1回転に2回停止する例です。停止時間を半分より短くしたいなら、駆動側を従動側より小さくして、残す歯を増やします。中心距離80mmのまま、18歯の駆動側に10歯を残して22歯の従動側を180度ずつ送ると、停止時間の割合は式で38.9%、同じ解き方のモデルで37.3%でした。

段差の大きさは、駆動側の回転数に比例します。駆動側を60rpmで回すと、停止していた従動側が、ほぼ一瞬で毎分60回転になります。モデルで1倍に達するまでの0.1度は、解いた刻み（0.05度）の2つぶんで、60rpmなら0.28ミリ秒にあたります。実際の立ち上がりの時間は、歯のたわみで決まります。ゼネバなら、ピークの2.41倍に届くまで45度、0.125秒をかけて加速します。そのため回転数を上げるほど、かみ始めの衝撃は大きくなるはずです。

停止中に拘束するのは、同じ中心の円弧

停止中に従動側を拘束するのは、奥の段です。駆動側にある半径44mmの円板が、従動側の板に切った半径44.3mmのくぼみにはまります。板の外半径は54mmです。停止位置では、くぼみの中心が駆動側の軸にちょうど重なります。

次の図の左は停止中、右はかみ始めの瞬間です。左の図では、青い円板の縁とオレンジのくぼみが、ほぼ同じ円を描いて重なっているところを見てください。0.3mmのクリアランスは、この縮尺では線の太さに隠れます。

同じ中心の円弧どうしなので、駆動側の円板は縁を滑って回り続けられます。ところが従動側が回転しようとすると、くぼみの中心が軸からずれて、くぼみの縁が円板に接触します。ただ、クリアランス0.3mmのぶん、従動側は前後に0.3〜0.4度だけ動けます。停止している264.5度のうち78%は、どちらの向きにも0.5度未満に拘束されていました。

停止区間の大部分では、このロックの遊びがそのままワークの停止位置のずれになります。テーブルの中心から半径Rの位置にワークを載せるなら、片側0.4度の遊びは周方向に次の量です。停止の始めと終わりの近くでは、後で述べるように遊びがもっと大きくなります。

ワークの位置ずれ  R × 0.4 × π ÷ 180 ≒ 0.007 R（mm）

位置ずれの許容値が客先から示されれば、この式から、ワークを載せられる半径か、くぼみのクリアランスをどこまで詰めるかが決まります。

ロックを歯車と別の段に分けたのは、同じ面に置くと歯を削ってしまうからです。半径44mmの円板は、従動側の歯先円に、軸間の線から±24.6度まで入り込みます。停止位置では、軸間の線の両側8.4度と9.6度に従動側の歯が1枚ずつあり、同じ面なら半径36.73mmと36.95mmまで欠ける計算です。基礎円（半径37.59mm）より内側で、歯面はほとんど残りません。

ロックは、歯が接触する前に解除する

かみ始めの瞬間、従動側は前へ回転できる状態でなければなりません。ロックが拘束したまま歯が押せば、歯かロックのどちらかが干渉します。駆動側の円板にある切り欠きは、そのための逃げです。形は、従動側の板が送られるあいだに通過する範囲へ0.3mm以上のクリアランスを加え、円板から削って決めました。

切り欠きがロックを解除し始める時期は、ロックの遊びで測れます。次のグラフは、停止している従動側が、円板に接触するまでに回転できる角度です。送る向きの線が立ち上がる位置と、逆の向きの線が低いまま続く区間を見てください。

送る向きの遊びは、かみ始める38度ほど前から増え始め、かみ始めの瞬間には4.6度あります。逆の向きは最後まで0.3〜0.4度のままです。ロックは送る向きから先に解除され、従動側が後ろへ戻る余地は残さない、という順番です。

切り欠きを5度遅らせた円板で同じ動きをさせると、かみ始めて6度回ったところからロックの段で干渉が出て、最大61.9mm³になりました。かみ始める時点では遊びがまだ2.45度あるので、すぐには接触しません。しかし従動側が送られるうちに、遅れた切り欠きが追いつかなくなるのです。

切り欠きの位置のように、動作の途中でだけ干渉する箇所は、静止した姿勢をいくつか見るだけでは見落とすことがあります。提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにも、こうした動作中のクリアランスを確認する機能があります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻を動かすと、送りの途中の各時点でクリアランスを確認できます。停止位置の許容ずれや必要な停止時間のように、AIが決めきれないワークの条件は、客先への確認事項として一覧にします。

停止させる側は反対に、遅れてはいけません。最後の歯先が抜けて0.3度後には、送る向きの遊びは0.4度に戻っていました。後ろ向きには2.6度の遊びが残り、駆動側が30度回るあいだに0.5度まで詰まります。実際の従動側はワークとテーブルの慣性で進もうとするので、その勢いを受け止めるのはこのロックの円弧になるはずです。先の特許も、停止するときにロックの円弧と駆動側がぶつかって衝撃振動が出ると書いています⁴。

このモデルの20歯どうしなら、残す歯の数は、送りたい角度を従動側のピッチ角で割って1を引いた数です。歯数を変えるときは1を引けばよいと決めつけず、歯を少しずつ回して、送りとかみ始めの接触の仕方を確認してから決めます。切り欠きの位置は、歯の位置からではなく、従動側が送られるあいだに通過する範囲から逆算します。この2つを先に決めておけば、組んでから送りが1歯ずれることは避けられるでしょう。

2026年11月9日 更新：従動側に載せたワークの割り出しを中心に、停止時間とロックの遊びによる位置ずれ、クリアランスを加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「平歯車・ラックの寸法計算」（2026年10月31日に確認）。表4.1の中心距離、歯先円直径、歯底円直径、歯たけの式によります。同ページは2015年当時のデータと注記しています。 ↩

2. 小原歯車工業「インボリュート歯車のかみ合い」（2026年10月31日に確認）。式（3.5）の定義で、1.56はモデルの寸法から計算した値です。 ↩

3. 小原歯車工業「切下げ」（2026年10月31日に確認）。圧力角20度の切下げ限界歯数は17.1とあります。 ↩

4. CN101963218A「磁力减振定位不完全齿轮」（江蘇大学、2011年2月2日公開。Google Patentsで2026年10月31日に確認）。背景技術の段落によります。訳は編集部です。 ↩ ↩

5. John H. Bickford「Mechanisms for Intermittent Motion」第15章（Industrial Press、1972年。Cornell UniversityのeCommonsが公開しているPDF、2026年10月31日に確認）p.215。 ↩ ↩