遊星歯車の減速比と歯数の計算、遊星を何個入れられるかは歯数とクリアランスで決まる

例として、ワークを載せたテーブルやコンベヤを、モータから減速比5で駆動する場面を考えます。ワークの質量や搬送の加速度、停止位置に求める精度は、駆動される側の条件として客先のワーク仕様から決まります。減速機の側で決めるのは、減速比と外径、そして負荷を何個の遊星で分担するかです。

では、減速比5の遊星歯車に、遊星を4個入れられるでしょうか。太陽歯車18歯、遊星歯車27歯、内歯車72歯の組では入りません。隣の遊星とは歯先円どうしで5.64mmのクリアランスがあって干渉しないのに、4個のうち2個の歯が、内歯車の歯と半ピッチずれて干渉するのです。

減速比のほうは、内歯車を固定して太陽歯車から入力するなら1＋72÷18で5。式は1行で済みます。ところが歯数は、比だけでは決まりません。中心距離がそろうこと、遊星を等間隔に配置できること、隣どうしが干渉しないこと。この3つを同時に満たす組を探すことになります¹。

下のモデルでは内歯車を固定し、手前に出した太陽歯車の軸を回します。太陽歯車が5回転するあいだに、奥にあるオレンジのキャリアが同じ向きに1回転します。キャリアは遊星歯車の軸を支える腕で、ここが出力です。3Dでは、遊星歯車がキャリアに乗って公転しながら、太陽歯車と逆向きに自転する様子を見てください。

歯車はどれもモジュール2、圧力角20°の標準平歯車で、歯幅は12mmです。太陽と遊星は基礎円より内側を直線でつなぎ、内歯車は歯底の近くを直線と円弧で簡略にした模式にしました。

かみ合いには円周方向に0.1mmのバックラッシを取り、キャリアから見て太陽が1歯進むあいだを6コマに分けて、歯の干渉を調べました。3個の遊星の両側で、干渉体積はどれも0mm³です。歯面のクリアランスは最小0.046mmで、バックラッシの半分を歯面に直角な向きに直した0.1 × cos 20° ÷ 2 ≒ 0.047mmとほぼ一致します。

歯車以外の部品どうしのクリアランスも、モデルの寸法から読めます。遊星歯車の穴は半径5.25mm、キャリアのピンは半径5mmなので、半径方向のクリアランスは0.25mmです。軸方向では、遊星の歯幅がY = −6〜6mmの範囲にあります。キャリアの板はY = 8mmから、ピンの頭はY = −7mmまでなので、軸方向のクリアランスはキャリア側で8 − 6 = 2mm、ピンの頭の側で7 − 6 = 1mmです。

0.046mmの歯面のクリアランスと、mm単位の部品どうしのクリアランスは、同じモデルの中でも桁が違います。提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでは、こうした値を部品の組ごとに確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成し、生成するたびに検図の結果を○▲×で示します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、回転の途中の各時点でクリアランスを確認できます。

固定する要素で、比は3通りに変わる

遊星歯車機構の基本の軸は、太陽歯車、内歯車、キャリアの3つです¹。1つを固定し、残りの2つを入力と出力にします。小原歯車工業（KHK）の技術資料にある呼び名と式で、このモデルの歯数を計算しました。

呼び名	固定と入出力	このモデルの比
プラネタリ型	内歯車を固定し、太陽から入力してキャリアへ	1＋72÷18＝5
ソーラ型	太陽を固定し、内歯車から入力してキャリアへ	1＋18÷72＝1.25
スター型	キャリアを固定し、太陽から入力して内歯車へ	−72÷18＝−4

歯車は1枚も替えていないのに、比の大きさは1.25から5まで変わります。マイナスは、入力と出力が逆向きに回るという意味です。スター型では遊星が公転しないので、遊星は向きを変えるだけの遊び歯車になり、KHKの資料では厳密には遊星歯車機構とはいえない、という扱いです¹。

比の出し方は、KHKの資料にある数表の方法がいちばん追いやすいでしょう。まずキャリアを固定して太陽を1回転させ、次に全体を一体にして一緒に回し、固定したい要素を0に戻します¹。内歯車を固定するプラネタリ型なら、次のとおりです。

キャリアを止めて太陽を+1回転  遊星 −18÷27、内歯車 −18÷72 = −0.25
全体を一緒に+0.25回転          内歯車は −0.25 + 0.25 = 0
太陽 1 + 0.25 = 1.25回転、キャリア 0 + 0.25 = 0.25回転
減速比 = 1.25 ÷ 0.25 = 5

3つの型は、1本の式にまとめられます。MathWorksがSimscape Drivelineのドキュメントに載せている関係を、歯数で書き直しました²。ns、nr、ncは太陽、内歯車、キャリアの回転速度です。

(1 + zr/zs) × nc = ns + (zr/zs) × nr     zs = 18、zr = 72
内歯車を止める   nr = 0 → nc = ns ÷ 5
太陽を止める     ns = 0 → nc = 0.8 × nr（比1.25）
キャリアを止める nc = 0 → nr = −ns ÷ 4

遊星は、キャリアから見ると800min⁻¹

遊星の回転速度には、どこから見るかによって2つの値があります。キャリアに固定した座標系で見れば、太陽と遊星と内歯車は軸の動かない歯車列です。太陽はキャリアより速いぶんだけ回り、遊星はそれを歯数比で逆向きに受け取ります。太陽に1,500min⁻¹を入力したときで計算しました。

キャリア                    1,500 ÷ 5 = 300 min⁻¹
遊星（キャリアから見る）    −(18 ÷ 27) × (1,500 − 300) = −800 min⁻¹
遊星（静止座標系から見る）  300 − 800 = −500 min⁻¹
内歯車の側から確認する      (72 ÷ 27) × (0 − 300) = −800 min⁻¹

静止座標系から見ると、遊星は太陽の3分の1の速さで逆向きに回ります。しかし、遊星とピンのあいだの軸受が受け持つのは、キャリアから見た800min⁻¹のほうです。出力の300min⁻¹の2.7倍で、軸受を選定するときに見落としやすい数字でしょう。

モデルの1ループでは、太陽が5回転、キャリアが1回転するあいだに、遊星は逆向きに5/3回転します。遊星だけ半端なので、穴を3つ同じ大きさにして、ループのつなぎ目で形がそろうようにしました。動画では、キャリアの1回転のあいだに遊星が逆向きに自転する様子を見てください。

歯数を決める3つの条件

1つ目は中心距離です。太陽と遊星の中心距離と、遊星と内歯車の中心距離がそろわないと、遊星の軸の位置が決まりません。標準歯車ならzr = zs + 2zpで、このモデルは18 + 2 × 27 = 72。中心距離はどちらも45mmです¹。

転位歯車で中心距離を調整すれば、この式に合わない歯数も選べます¹。このモデルは転位のない標準歯車で組み、太陽は18歯にしました。圧力角20°の標準平歯車で切下げが起きない限界の17.1歯を、ちょうど上回る歯数です³。

2つ目は、遊星を等間隔に配置できること。KHKの条件は、（太陽の歯数＋内歯車の歯数）÷遊星の数が整数になることです¹。なぜ割り切れなければならないのかは、李樹庭氏（島根大学）の資料を読むと分かります。内歯車と遊星と太陽のピッチ円の弧をつないで閉じた線を作ると、その長さがピッチの整数倍でなければならない、という条件です⁴。

この式は、1つ目の条件を入れると見通しがよくなります。zs + zrは2(zs + zp)と同じだからです。つまり、2個ならいつでも等間隔に配置できます。4個は太陽と遊星の歯数の和が偶数のとき、3個は和が3の倍数のときだけです。比が4.5から5.5に入る組を、太陽12〜40歯で数えました。385組のうち、3個で等間隔にできるのは130組、4個は193組。だいたい3分の1と2分の1です。

3つ目は、隣の遊星どうしが干渉しないこと。標準歯車を等間隔に配置するなら、zp + 2 < (zs + zp) sin(180° ÷ 遊星の数)です¹⁴。左辺は遊星の歯先円の直径を、右辺は隣の遊星との中心距離を、どちらもモジュールで割った値にあたります。

遊星3個  27 + 2 = 29 < (18 + 27) × sin 60° = 38.97
隣の中心距離 2 × 45 × sin 60° = 77.94 mm、歯先円の直径 58 mm、クリアランス 19.94 mm

このほかに、内歯車と遊星の干渉も確認しておく必要があります¹。27歯と72歯の歯数差は45。トロコイド干渉が起きない9以上を大きく上回ります⁵。インボリュート干渉とトリミングも、カルダン機構と同じ式で計算し、起きないことを確認しました。

次の図は、同じ歯数のまま遊星を2個から6個に変えたものです。赤く塗った干渉部がどこに出るかを見てください。

5個と6個は割り切れますが、隣の中心距離が52.90mmと45.00mmで、歯先円の直径58mmより短くなります。等間隔に並べた隣どうしの干渉体積は、5個で91.8mm³、6個で2,072mm³でした。

4個にすると、2個が半ピッチずれる

4個のときに何が起きているかは、2つ目の条件で分かります。(18 + 72) ÷ 4は22.5で、割り切れません。

90°と270°の位置に配置した遊星を太陽にかみ合わせると、どちらも内歯車の歯と417mm³干渉しました。180°の位置は0mm³です。自転の向きを1ピッチのあいだで24通りに振っても、干渉は消えません。いちばん小さいのは半ピッチ回した向きで、内歯車とは0mm³になる代わりに、今度は太陽と187mm³干渉します。太陽に合わせた向きと内歯車に合わせた向きが、ちょうど半ピッチずれているのです。かさ歯車の差動歯車でピニオンを3個にしたときも、同じ条件で組めませんでした。

ただ、等間隔をあきらめれば4個は配置できます。KHKの資料には、等間隔でないときの条件もあります。隣の遊星がなす角の半分をθとして、（太陽の歯数＋内歯車の歯数）× θ ÷ 180が整数、という式です¹。このモデルなら90 × θ ÷ 180なので、θは2°刻み、なす角は4°刻みです。

0°、88°、180°、268°と並べれば、4個とも条件に合います。88°と268°の位置に配置した遊星は、内歯車との干渉体積が0mm³、最短距離が0.0465mmでした。隣の中心距離は狭いほうで2 × 45 × sin 44° = 62.52mmあり、歯先円の直径58mmより長いので、隣どうしも干渉しません。0°と180°、88°と268°がそれぞれ向かい合うので、4個が等しく受け持つなら、太陽にかかる力は打ち消し合う並びです。

比を上げると、入る遊星が減る

3つ目の条件は、減速比を上げるほど厳しくなります。太陽の歯数を変えずに比を上げると、内歯車が大きくなり、そのぶん遊星も大きくなるからです。次のグラフで、それぞれの線が0を下回る比を見てください。

線が0を下回る比は、3個で13.27、4個で6.07、5個で4.31、6個で3.56です。だから、比5なら隣どうしの条件だけで見れば4個まで入ります。太陽の歯数を増やすと上限は少しずつ上がり、たとえば、太陽を30歯にすると3個の上限は13.93です。歯数を大きくした極限では2 ÷ (1 − sin(180° ÷ 遊星の数))、3個なら14.93に近づきます。李樹庭氏の資料には、遊星歯車装置の速比は最大14とあります⁴。3個の隣の条件から出した値と、ほぼ同じ大きさです。

負荷は、遊星の数で分担する

遊星をいくつ入れるかは、負荷の分担の問題でもあります。KHKは、2個以上の遊星歯車で負荷を分担するので装置をコンパクトにできる、と書いています¹。太陽に10N·mを入力したときの、かみ合い1か所の接線力を計算しました。式はKHKの計算例と同じ形で、Ftは接線力、dは基準円直径です⁶。

Ft = 2,000 × T ÷ (遊星の数 × d)    T = 10 N·m、d = 36 mm
遊星1個  2,000 × 10 ÷ 36 = 555.6 N
遊星3個  2,000 × 10 ÷ (3 × 36) = 185.2 N
半径方向の力  185.2 × tan 20° = 67.4 N

遊星1個あたりで見ると、太陽の側と内歯車の側で同じ185.2Nの接線力を受けます。遊星が自転のつり合いを保つには、両側の力が等しくなければならないからです。2つの接線力はピンを同じ向きに押すので、ピンの力は2倍の370.4N。半径方向の67.4Nは、太陽の側と内歯車の側で向きが逆になり、打ち消し合います。3本のピンが半径45mmでキャリアを押すと、3 × 370.4N × 45mmで50.0N·mになり、入力の5倍と一致しました。内歯車を固定している部分は、残りの40N·mを受けます。

ただし、ここまでは3個が同じだけ受け持つときの値です。本田技術研究所の論文によると、トルクは理想的には遊星の数で等しく分かれますが、製造誤差があると分担が不均等になります⁷。なかでも影響が最も大きいとされるのは、遊星を支えるピン穴の位置の誤差です。つまり、185.2Nはぴったり3等分できたときの目安にすぎません。歯や軸受の強度は、メーカーの資料と設計基準で最終的に判断してください。

4個にするなら、歯数から選び直す

比5のまま遊星を4個にしたいなら、太陽20歯、遊星30歯、内歯車80歯の組があります。(20 + 80) ÷ 4 = 25で割り切れ、隣の中心距離は70.71mmで、歯先円の直径64mmより長くなります。4個を並べて3Dで調べると、干渉体積は0mm³、最短距離は0.046mmでした。かみ合い1か所の接線力は、185.2Nから125.0Nに下がります。

そのかわり、内歯車のピッチ円直径は144mmから160mmに広がり、(20 + 80) ÷ 3は割り切れないので3個では組めません。3個でも4個でも組みたいなら、切下げの限界を上回る歯数では太陽24歯、遊星36歯、内歯車96歯が最小で、内歯車のピッチ円直径は192mmまで広がります。

外径を抑えたいなら3個の18歯と72歯、負荷を分担させたいなら4個の20歯と80歯。どちらを取るかは、内歯車を配置できる直径でほぼ決まりそうです。必要なトルクのもとになるワークの質量や加速度、減速機を収める空間は、モデルの寸法からは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうした条件を、客先への確認事項として一覧にします。

2026年11月9日 更新：ワークを駆動する減速機として読めるように、歯面と部品どうしのクリアランスを加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「遊星歯車機構」（2026年11月1日に確認）。4つの基本要素と3つの基本軸、歯数の3つの条件の式(17.1)〜(17.6)、プラネタリ型、ソーラ型、スター型の速度伝達比の式(17.7)〜(17.9)と数表、負荷の分担によります。同ページは2015年当時のデータと注記しています。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. MathWorks「Planetary Gear」（Simscape Drivelineのドキュメント、2026年11月1日に確認）。(1 + gRS)ωC = ωS + gRS ωR、gRS = NR/NSの関係によります。 ↩

3. 小原歯車工業「切下げ」（2026年11月1日に確認）。 ↩

4. 李樹庭「遊星歯車装置の設計及び自動製図ソフトの開発（平歯車を用いる場合）」（島根大学、2023年8月22日。2026年11月1日に確認）。配置の条件の式(5.1)(5.2)、隣どうしの条件の式(6.5)、速比が最大14であることによります。比の上限の極限値は、式(6.5)で歯数を大きくしたときの値として編集部が計算しました。 ↩ ↩ ↩

5. 小原歯車工業「内歯車の寸法計算」（2026年11月1日に確認）。歯数差9以上でトロコイド干渉が起きないこと、3つの干渉の式によります。27歯と72歯での値はモデルの台本で計算しました。 ↩

6. 小原歯車工業「歯車に働く力（平行軸歯車）」（2026年11月1日に確認）。表12.2の計算例（入力トルク2N·m、基準円直径40mmで接線力100.0N）と、半径方向力Ft tan αによります。ピンの力、キャリアのトルク、内歯車が受けるトルクは、遊星にかかる力のつり合いから編集部が計算しました。 ↩

7. 垣内浩樹「遊星歯車装置における製造誤差とトルク分担の関係」（Honda R&D Technical Review Vol.22 No.1、2010年4月。2026年11月1日に確認）。トルクが理想的には遊星歯車の数で等しく分かれること、製造誤差で不均等になること、ピン穴位置の偏心誤差の影響が最も大きいとされることによります。 ↩