カルダン機構でワークを96mm往復搬送する、ストロークエンドの加速度と直線のぶれ

スライダに載せたワークを、96mm離れた2つの位置のあいだで往復搬送するとします。ストロークエンドでワークにかかる加速度と、搬送の直線がどれだけぶれるかは、機構の寸法で決まります。一方、ワークの質量、スライダへの載せ方（摩擦だけで載せるか、ピンやクランプで拘束するか）、ストロークエンドで許される位置ずれは、ワーク仕様を見ないと決まりません。どれも先に客先に確認する項目です。

カルダン機構は、48歯の内歯車の中で24歯の小歯車を転がし、小歯車のピッチ円上のピンに直線を往復させる機構です。内歯車の歯数を小歯車のちょうど2倍にすると、腕の長さは24mmでも、ピンは内歯車の直径に沿って96mmを往復します。直線を作るのは歯車のかみ合いだけで、溝もリンクも必要ありません。下のモデルで奥の腕を一定の速さで回すと、小歯車は腕と逆向きに自転し、ピンにつないだオレンジのスライダが左右に往復します。スライダのストロークと、内歯車の外径がどれだけ場所を取るかを見てください。

歯車はモジュール2の標準平歯車で、圧力角は20°、歯末のたけは1.00m、歯元のたけは1.25mです¹。内歯車は歯溝をインボリュートで作り、歯底に近いところは直線と円弧で簡略化した模式です。腕は歯車の奥にあるので、反対側にも伸ばして、回転の向きが手前から見えるようにしました。

歯面のクリアランスはバックラッシの半分の0.046mm

部品どうしの干渉は、ブーリアン演算で求めた干渉体積と、面どうしの最短距離で確認しました。かみ合いは腕が7.5°回るごとに同じ形に戻るので、その間を6コマに分けています。干渉体積はどのコマも0mm³で、最短距離は最小で0.046mmです。円周方向に0.1mm取ったバックラッシを、両側の歯面で分けた分にあたります。歯面に直角な向きに直すと0.1 × cos 20° ÷ 2 ≒ 0.047mmで、この量だけ歯面が離れています。ピンの板や腕、スライダ、案内の丸棒も、腕1回転を12コマに分けて同じように確認しました。

この0.046mmは、ワークにとっては、腕を止めてもスライダが動けるガタの元です。腕を止めた状態でも、小歯車はバックラッシの分だけ0.1 ÷ 24rad、約0.24°回転でき、ピンは0.1mm動きます。動く向きは、小歯車の中心とピンを結ぶ線と直角です。

ストロークエンドでは、この向きが搬送の直線と直角になります。腕の角度が0°のとき、小歯車の中心は(24, 0)、ピンは(48, 0)にあり、2点を結ぶ線は搬送の直線そのものだからです。直線の向きの位置ずれは、24 × (1 − cos(0.1 ÷ 24)) ≒ 0.0002mmにとどまり、0.1mmはすべて直線と直角の向きに出ます。ストロークの中央では逆に、小歯車の中心とピンを結ぶ線が搬送の直線と直角になるので、0.1mmは搬送の向きに出ます。ワークを受け渡すのがストロークエンドなら、搬送の向きの位置決めにバックラッシはほとんど影響せず、横方向のずれを案内で受けることになります。

部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べ、腕の角度ごとに確認する作業は、装置設計の支援アプリ MEKARIQ でもできるように作られています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）ワーク仕様などの装置の条件から3Dと組立図、部品図、部品表、回路図を生成し、干渉チェックでは干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、動作中のクリアランスを確認できます。

ストロークエンドの加速度は60rpmで1,895mm/s²

ピンの位置は x = 48 cos θ です。腕を一定の角速度ωで回すとθ = ωtなので、スライダとワークの速度と加速度は次のようになります。

位置   x = 48 cos θ        （mm）
速さ   v = −48ω sin θ      （mm/s）
加速度 a = −48ω² cos θ     （mm/s²）

60rpm（ω = 2π rad/s）のとき
速さの最大   48 × 2π = 301.6 mm/s（θ = 90°、270°。ストロークの中央）
加速度の最大 48 × (2π)² = 1,895 mm/s²（θ = 0°、180°。ストロークの端）

次のグラフは、モデルの動きの式から位置と速さを計算し、最大を1にそろえたものです。2本の線が、90°ずれた同じ形の波になっていることを見てください。

速さは中央で最大、加速度はストロークエンドで最大です。ワークを摩擦だけでスライダに載せるなら、ストロークエンドでワークが滑らない条件は、ワークとスライダの摩擦係数をμ、重力加速度をgとして μ × g ≥ a です。60rpmでは a = 1.895m/s² なので、μ ≥ 1.895 ÷ 9.807 ≒ 0.193 が目安になります。加速度は回転数の2乗で増えるので、回転数を上げるほどこの条件は厳しくなります。ワークの材質と表面の状態で摩擦係数が決まるので、ここも客先に確認する項目です。

この動きは単振動そのもので、スコッチヨークと同じ式です。半径48mmのクランクで組んだスコッチヨークと、位置も速さも加速度も一致します。違うのはストロークの取り方で、スコッチヨークのストロークはクランク半径の2倍、カルダン機構では腕の長さの4倍になります。

搬送の直線のぶれは、組立誤差と同じ量で出る

ピンが直線を往復するのは、ピンを小歯車のピッチ円上に置いたときだけです。小歯車の中心からピンまでをdとすると、ピンは次の軌跡を描きます。

x = (24 + d) cos θ
y = (24 − d) sin θ

これは長半径24 + d、短半径|24 − d|の楕円です。d = 24のときだけ短半径が0になり、楕円がつぶれて線分になります。次の図では、ピンへ向かう線上にある4つの点を、腕1回転分描きました。灰色の円からオレンジの直線まで、楕円の太さがどう変わるかを見てください。

ピッチ円より内側のd = 12と外側のd = 36は、短半径がどちらも12mmです。長半径は36mmと60mmで、外側の点ほど横に長い楕円を描きます。1905年にドイツで出た技術事典は、ピッチ円から外れた点が楕円を描くことをラ・イールが1706年、パリ科学アカデミーの紀要で示した、と書いています²。

この式から、加工と組立の誤差が搬送の直線にどう出るかが分かります。ピンの位置が小歯車の中心から0.05mm遠いとd = 24.05になり、ピンは短半径0.05mmの細い楕円を描きます。腕が0.05mm長いときも、計算すると直線からのずれは同じ0.05mmです。誤差は1対1で直線のぶれになります。直線の精度は、歯車のバックラッシと、腕やピンの取付位置の精度でほぼ決まると見てよさそうです。

案内の取付にも注意が必要です。ピンが通る直線は歯車だけで決まるので、このモデルの丸棒は、スライダにかかる横方向の力を受けるためのものです。丸棒の向きが歯車の決める直線からずれていると、2つがスライダを別々の線へ引き合い、歯面か丸棒のどこかに無理な力がかかるでしょう。

2本のベクトルが逆向きに回転し、上下の成分が打ち消し合う

ピンの位置は、2本のベクトルの和で書けます。1本は腕そのもので、内歯車の中心から小歯車の中心へ向かいます。もう1本は小歯車の中心からピンへ向かうもので、長さはどちらも24mmです。

腕を反時計回りにθ回すと、1本目はそのままθ回転します。2本目は小歯車と一緒に回転しますが、小歯車は内歯車にかみ合って転がるので、自転する角度はθ ×（1 − 48 ÷ 24）= −θです。同じ長さの2本が同じ角度だけ逆向きに回転するので、上下の成分はいつも打ち消し合い、横の成分だけが足し合わされます。

これを一般の形で書いたのが、内サイクロイドの式です。半径Rの円の内側を半径rの円が滑らずに転がるとき、小さい円の周上にある点は次の位置にきます。

x = (R − r) cos θ + r cos((R − r)θ / r)
y = (R − r) sin θ − r sin((R − r)θ / r)

R = 2r なら (R − r) / r = 1 なので
x = r cos θ + r cos θ = 2r cos θ = R cos θ
y = r sin θ − r sin θ = 0

θは腕の角度です。Rとrはピッチ円の半径で、内歯車が48mm、小歯車が24mmです。尖りが2つの内サイクロイドは線分になる³という性質を、歯車で使っていることになります。そのためピンは内歯車のピッチ円を端から端まで横切り、48 × 2 = 96mmを動きます。腕24mmの4倍です。

直線を描くのは、ピンだけではありません。小歯車のピッチ円上なら、どの点も内歯車のどれかの直径上を往復します²。モデルで計算すると、ピンから90°先の点は45°傾いた直径を、180°先の点は縦の直径を動きました。小歯車の直径の両端は、直交する2本の線の上を滑ります。

滑る場所が溝から歯面に移り、往復する部品が軽くなる

スコッチヨークでは、ピンに付けたブロックがヨークの溝の中を上下に滑ります。滑る速さはクランクピンの速度のうち縦の成分で、Rω|cos θ|です。ストロークを同じ96mmにそろえたR = 48mmなら、60rpmで最大301.6mm/sに達します。

カルダン機構にはこの溝がありません。ピンから往復する部品へ動きを伝えるところで滑るのは、かみ合っている歯面だけです。スライダが丸棒に沿って滑る速さは、スコッチヨークのヨークが案内の中を滑る速さと同じなので、ここでは比べません。歯面の滑り速度は、2つの歯車の相対的な角速度に、ピッチ点から接触点までの距離を掛けた値です。腕から見ると、内歯車は−ω、小歯車は−2ωで回転するので、相対的な角速度はωです。接触点がピッチ点からいちばん離れるのは内歯車の歯先に近い端で、モデルの寸法では7.39mmです。

接触する範囲（かみ合い線上、ピッチ点から）
内歯車の歯先に近い端  r2 sin α − √(ra2² − rb2²) = 16.42 − 9.03 = 7.39 mm
小歯車の歯先に近い端  √(ra1² − rb1²) − r1 sin α = 12.94 − 8.21 = 4.73 mm
歯面が滑る速さの最大  7.39 × 2π = 46.4 mm/s（60rpm）

raは歯先円、rbは基礎円の半径で、添字の1は小歯車、2は内歯車を表します。次のグラフでは、2本の線の高さを比べてください。

最大で比べると、歯面の滑り速度はスコッチヨークの溝の約6.5分の1です。しかも溝の滑りは、ヨークの加速度が最大になるストロークエンドで最大になります。歯面の線がのこぎり歯になるのは、接触点がかみ合い線を進み、歯が入れ替わるたびに端から戻るためで、腕が7.5°回るごとに同じ形をくり返します。

部品の数と、滑りが出る場所を並べました。

	カルダン機構	スコッチヨーク
動く部品	腕、小歯車、スライダ	クランク、ブロック、ヨーク
往復する部品	スライダ	ヨークとブロック
ピンまわりの滑り	歯面（最大46mm/s）	溝（最大302mm/s）
往復する部品の案内	丸棒（最大302mm/s）	ヨークの案内（最大302mm/s）
ストローク	腕の長さの4倍	クランク半径の2倍

動く部品は、どちらも3つです。違うのは往復する部品の中身です。スコッチヨークのヨークはストロークより長い溝を持つので、ストロークを伸ばすほど大きく重くなります。以前の記事で作ったスコッチヨークは、ストローク60mmで、ヨークの高さが106mmありました。同じ作りでストロークを96mmにすると、溝の高さは122mm、ヨークの高さは142mmになります。カルダン機構のスライダはピンを受けるだけでよく、このモデルでは約30gです。ストロークエンドの加速度を受ける往復部の質量が小さいことが、ワークを搬送する側から見た利点です。その代わり、ストロークの1.2倍にあたる外径116mmの内歯車が必要で、装置の中にこの外径を収めるスペースを確保します。

弱点は3つあります。内歯車は平歯車より加工の手間がかかります。小歯車の軸は腕から見て2ωで回転するので、軸受も必要です。そしてバックラッシは、前に計算したとおり、直線のぶれとしてそのまま出ます。

歯数は23歯より少なくできない

内歯車と小歯車のかみ合いでは、インボリュート干渉、トロコイド干渉、トリミングの3つに注意します。小原歯車工業の資料によると、インボリュート干渉では内歯車の歯先が小歯車の歯元に食い込みます。小歯車の歯数が少ないときに起こる干渉です⁴⁵。残りの2つは、歯数差が小さいときに起こります。

カルダン機構では、歯数差が小歯車の歯数と同じになります。標準歯車なら、歯数差が9以上でトロコイド干渉は起きません⁴。トリミングも、小原歯車工業の資料にある式(4.11)と式(4.12)で計算すると、17歯から30歯までのどの組でも起きませんでした⁴。条件を決めるのは、インボリュート干渉のほうです。

起きない条件は、次の式で表されます⁴⁶。

z1 / z2 ≥ 1 − tan αa2 / tan αw
αa2 = cos⁻¹(db2 / da2)    内歯車の歯先圧力角
αw  = 20°                  標準歯車のかみ合い圧力角

歯数比2では左辺が0.5なので、右辺が0.5以下ならよい
小歯車  内歯車  右辺
  20      40    0.592  起きる
  21      42    0.547  起きる
  22      44    0.510  起きる
  23      46    0.478  起きない
  24      48    0.450  起きない

z1、z2は小歯車と内歯車の歯数、db2、da2は内歯車の基礎円直径と歯先円直径です。標準歯車でカルダン機構を組むなら、小歯車23歯、内歯車46歯が下限になります。内歯車には、34歯以上でないと歯先円が基礎円より大きくならない、という条件もあります⁶。ただ歯数比2では小歯車17歯にあたるので、インボリュート干渉のほうがずっと厳しい条件です。

計算の手順が合っているかは、小原歯車工業がカタログに載せている内歯車の表で確認できます。同じ式で計算し直すと、一致しました⁵。内歯車60歯なら、相手の小歯車の下限は21歯、トロコイド干渉の上限は51歯、トリミングの上限は43歯です。80歯から200歯までの行も、すべて同じ値になりました。

この干渉は、3Dの模式では再現できませんでした。同じモジュール2、同じバックラッシで20歯と40歯を組んでも、干渉体積は8コマのどれも0mm³です。最短距離が、24歯と48歯の0.046mmから0.042mmに縮んだだけでした。

いちばん近づくのは、内歯車の歯先の角と、小歯車の基礎円（半径18.79mm）より少し内側の歯元でした。式が示す、歯先が歯元に食い込む場所そのものです。24歯と48歯でいちばん近いのはピッチ円付近の歯面どうしで、こちらはバックラッシのクリアランスにあたります。

再現できなかったのは、模式の歯元が実物より細いからだとみています。このモデルは基礎円より内側を半径方向の直線にしましたが、ラック形の工具で歯切りした歯元は、基礎円の内側で太くなっていきます。細い模式の歯元だと、内歯車の歯先の角は、バックラッシ0.1mmで生じるクリアランスを通り抜けてしまいます。実物の歯元は歯切り工具によって形が変わるので、歯数は模式の干渉体積ではなく式で決めました。

選んだ24歯と48歯には、式の上ではまだ余裕があります。かみ合い線の上で、内歯車の歯先側の端はピッチ点から7.39mm、小歯車の基礎円との接点は8.21mmで、その差は0.82mmです。歯と歯のクリアランスではなく、かみ合い線上の長さです。かみ合い率は2.05です。

ただ、クリアランスで見ると、余裕はずっと小さくなります。基準ラックの工具（歯先の丸み0.38m）で歯切りした24歯の歯元を平面で計算すると、内歯車の歯先の角が通過するときのクリアランスは、0.1mmのバックラッシで約0.003mmでした。バックラッシが0なら、約0.04mm干渉します。近づくのは基礎円より内側のすみ肉で、歯先の面取りや工具の形で変わる値です。

ここまでは転位のない標準歯車の計算です。転位させるとαwとαa2が変わるので、同じ式で計算し直すことになります。歯数の下限は寸法から出した目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

名前は16世紀のカルダーノから

この2つの円は、ドイツ語で「カルダンの円」と呼ばれてきました。先に引いた1905年の技術事典によると、カルダーノが1570年の著書でこの動きを伝えたことから、そう呼ばれるようになったそうです²。カルダーノは1501年に生まれ、1576年に亡くなった数学者です⁷。同じ項目には、内歯車に小歯車をかみ合わせ、ピンにつないだ棒を固定した筒で案内する図があり、高速の印刷機に使われたとあります。

もっと古い記録もあります。ペルシアの天文学者で、数学者でもあったトゥースィー（13世紀）が、この性質に気づいていました³。

蒸気機関に使おうとした人もいます。イギリスの技術者ジェームズ・ホワイトは、内歯車の中で直径が半分の歯車を転がし、ピッチ円上の支点にピストン棒をつなぐ機構を作りました。1801年には、パリの博覧会でナポレオンからメダルを受けています⁸。ただ、この機構を使った蒸気機関はいくつか作られたものの、商売としては目立った成功をしませんでした。ホワイト自身も、この発明は「興味深い性質をもつ、きれいなもの」とは認められても、「よいもの」と言い切る意見ばかりではない、と書き残しました⁸。

腕24mmで96mm往復し、溝の中を滑る部品がなく、往復部が軽い。この点は今も利点です。内歯車を1枚作る手間と、バックラッシと組立誤差がそのまま直線のぶれになることを、ワークの受け渡しの精度に照らしてどこまで受け入れられるか。採用するかどうかは、そこで決まりそうです。

2026年11月9日 更新：スライダで搬送するワークから見たストロークエンドの加速度とクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「歯車の歯形及び寸法」（2026年10月31日に確認）。基準ラックの表によります。同ページは2015年当時のデータと注記しています。 ↩

2. Lueger「Lexikon der gesamten Technik」第2巻（1905年）の項目「Cardanische Kreise」 p.423〜424（Zeno.orgの翻刻、2026年10月31日に確認）。項目の筆者はBurmesterです。ピッチ円上の点がどれも直径上を動くこと、名前の由来、ラ・イールの証明、印刷機の例はこの項目によります。同項目の文献欄は、カルダーノの著書を「Opus novum de proportionibus numerorum, motuum etc.」（バーゼル、1570年）のprop. 173（p.186）、ラ・イールの証明をパリの科学アカデミーの紀要（1706年、p.351）としています。どちらの原典も確認していません。 ↩ ↩ ↩

3. Eric W. Weisstein「Hypocycloid」（Wolfram MathWorld、2026年10月31日に確認）。尖りが2つの内サイクロイドが線分になること、トゥースィー（1201〜1274年）がこれに気づいていたことによります。 ↩ ↩

4. 小原歯車工業「内歯車の寸法計算」（2026年10月31日に確認）。3つの干渉の説明、干渉が起きない条件の式(4.4)〜(4.12)、歯数差9以上の条件によります。同ページも2015年当時のデータと注記しています。 ↩ ↩ ↩ ↩

5. KHK「Internal Gears」カタログ p.208（2025年版、2026年10月31日に確認）。干渉の症状と原因の表と、内歯車の歯数ごとに相手の歯数の上限と下限を示した表によります。 ↩ ↩

6. 李樹庭「遊星歯車装置の設計及び自動製図ソフトの開発（平歯車を用いる場合）」（島根大学、2023年8月22日。2026年10月31日に確認）の式(1.1)〜(2.4)と、内歯車の歯数を34以上にする条件。トリミングの式(3.3)は根号の中の分子の符号が注4の式(4.12)と逆なので、式(4.12)で計算しました。こちらで注5の表と一致します。 ↩ ↩

7. MacTutor History of Mathematics「Girolamo Cardano」（セント・アンドルーズ大学、2026年10月31日に確認）。 ↩

8. Eugene S. Ferguson「Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt」（Smithsonian Institution、1962年。Project Gutenbergの電子版で2026年10月31日に確認）。ホワイトの言葉は、同書が引く1822年のホワイトの著書の英文を編集部が訳したものです。 ↩ ↩