かさ歯車の組立距離と歯のクリアランス。円すいの頂点を軸の交点に合わせる理由

ワークを搬送するコンベヤの駆動を直角に取り出すのに、既製のギヤボックスをやめて、かさ歯車を自前の軸受台に組むとします。ワーク仕様から決まるコンベヤの速度とトルクが、歯数比とスラストを決めます。図面に入れるのは組立距離の公差で、シムで調整する余地を残すかどうかも、ここで決めることになります。

モデルでは、直角に交わる2本の軸に、モジュール3で20歯と30歯のかさ歯車を付けました。入力を3回転させると、出力は向きを90度変えて2回転します。モジュールを決めたあとの寸法は、歯数比と「円すいの頂点を軸の交点に置く」という条件で、ほとんど決まってしまいます。

この条件から外れるとどうなるでしょうか。下のモデルで計算すると、大歯車を軸方向へ0.25mm押し込んだだけで、歯の内端どうしのクリアランスが0になります。3Dでは、2枚の歯車が軸の交点に向かって細くなっている形と、かみ合いの位置を見てください。

モデルの歯は模式です。歯たけは、小原歯車工業（KHK）のグリーソンすぐばかさ歯車の計算表から取りました¹。歯形は外端で平歯車のインボリュートに置き換え、それを円すいの頂点へ向けて小さくしてあります。歯先と歯底の線も頂点に向かうので、実物の歯切りとは少し違います。

円すい角は歯数比で決まる

かさ歯車の歯は、円すい面に並んでいます。もとになるのは、滑らずに接して転がり合う2つの円すいです¹。その頂角の半分を、KHKの資料は基準円すい角δと呼びます²。2枚のδを足した値が、軸の交わる角度（軸角Σ）です。

軸角は設計で決めますが、δは任意に選べる値ではなく、歯数比で決まります¹。

tan δ1 = sin Σ ÷ (z2/z1 + cos Σ)    δ2 = Σ − δ1
Σ = 90° のとき  tan δ1 = z1 ÷ z2

このモデル  tan δ1 = 20 ÷ 30 = 0.6667
           δ1 = 33.69°   δ2 = 56.31°

添字の1は小歯車、2は大歯車です。軸角を60度にすると、同じ20歯と30歯でもδ1は23.41度、120度なら40.89度に変わります。

円すいの大きさを表すのは、外端の基準円直径dと外端円すい距離Rです。Rは、円すいの頂点から外端の基準円までを母線に沿って測った長さで、かみ合う2枚に共通です。

d1 = 20 × 3 = 60 mm    d2 = 30 × 3 = 90 mm
R  = d2 ÷ (2 sin δ2) = 90 ÷ (2 × 0.8321) = 54.08 mm

ここまで決まれば、残りの寸法はKHKの計算表¹にある式から順に計算できます。モデルの値を並べました（単位はmm）。

寸法	小歯車	大歯車
歯数	20	30
基準円すい角δ	33.69°	56.31°
外端の基準円直径d	60	90
外端円すい距離R	54.08	54.08
歯幅b	18	18
歯末のたけ	3.77	2.23
歯元のたけ	2.80	4.33
外端歯先円直径	66.27	92.48
頂点から外端歯先まで	42.91	28.14

目を引くのは歯末のたけでしょう。グリーソン式は小歯車を正転位、大歯車を負転位にして、2枚の強さをそろえています¹。歯幅は、KHKが望ましいとするR/3（18.03mm）以下に収めました。同じ計算にKHKの計算例（20歯と40歯）を入れると、KHKの表4.16の値と小数第4位まで一致します。

次の図は、2本の軸を含む面で見た形です。青い一点鎖線で描いた2枚の円すいの母線が、同じ1点から出ているところを見てください。

その1点が、2本の軸の交点です。

出力の回転は入力の20/30に下がり、トルクは損失を除けば1.5倍です。速度とトルクを交換する関係は平歯車の減速と同じですが、こちらは向きも変わります。入力軸と出力軸をそれぞれ背面側から見ると、回転方向は逆です。大歯車を入力軸の反対側に付ければ、同じ出力軸が逆向きに回ります。コンベヤの搬送方向を逆にしたいときは、モーターの回転方向のほかに、この配置でも変えられます。

動画では、入力軸と出力軸の回転方向の関係を見てください。

相手が変われば、20歯でも別の歯車

平歯車なら、モジュールと圧力角が同じ20歯は、30歯とも40歯ともかみ合います。しかし、かさ歯車はそうはいきません。相手の歯数でδ1が変わるからです。モジュール3の20歯で計算しました。

相手の歯数	δ1	頂点から外端歯先まで
20	45°	27.88mm
30	33.69°	42.91mm
40	26.57°	58.20mm

相手も20歯なら歯数比は1です。軸角90度でこの組み合わせのかさ歯車が、マイタ歯車です¹。2枚ともδは45度で、グリーソン式でも転位しません。歯先の位置は、相手が20歯なら頂点から27.88mm、40歯なら58.20mmと、倍以上違います。

試しに、モデルの小歯車を、同じモジュールと歯数のマイタ歯車に替えてみました。頂点を交点に合わせ、マイタ歯車を回して干渉がいちばん小さくなる位置を探しても、大歯車と約1,080mm³の干渉体積が出ます。KHKの資料には、かさ歯車のかみ合いは必ず相手と対で考え、決められた歯数の組み合わせ以外では正しくかみ合わせられない、とあります¹。カタログで選定するときも、2枚を組で選ぶことになります。

組立距離は軸の交点から測る

円すいの頂点を交点に置くために、図面で押さえる寸法が組立距離です。Gear Technology誌の解説は、歯車の背面にある位置決め面（多くは軸受の座）から相手歯車の中心線までの距離を、組立距離と定義しています。すぐばかさ歯車では、ピッチ円すいの頂点が2本の軸の交わる点に来る、とも書いています³。

モデルでは、ボスの背面を軸の段に当てて位置決めしました。小歯車の組立距離は70mm、大歯車は55mmです。このうち頂点から外端歯先までの42.91mmと28.14mmは、歯数とモジュールを決めた時点で変えられません。設計で選べるのは、残りの27.09mmと26.86mm、つまり歯先からボスの背面までの長さだけです。同じ解説にも、頂点から歯先までの値は式で決まり、設計者はそれを保ったうえで組立距離を決める、とあります³。

0.25mm押し込むと、歯の内端が干渉する

組立距離がずれると、円すいの頂点が軸の交点から外れます。では、どのくらいずれると問題になるのか。モデルの大歯車を軸方向に動かし、入力の角度を3通りに変えて、歯どうしの最短距離と干渉体積を計算しました。

大歯車のずれ	最短距離	干渉体積
＋1.00mm	0.297mm	0
＋0.50mm	0.171mm	0
0（設計の位置）	0.068mm	0
−0.10mm	0.036mm	0
−0.20mm	0.011mm	0
−0.25mm	0	0
−0.30mm	0	0.007mm³
−0.50mm	0	0.88mm³
−1.00mm	0	30.8mm³

マイナスは頂点の側へ押し込む向きです。設計の位置でも、歯面のクリアランスがいちばん小さいところは0.068mmしかありません。0.25mm押し込むとそれが0になり、1mmでは30.8mm³の干渉体積が出ました。最短距離になる点は、設計の位置でも押し込んだときも、頂点から36.1mmほどのところです。つまり歯の内端です。

KHKの換算式では、かさ歯車で軸方向の遊びjxを計算するとき、法線方向バックラッシjnを2 sin α sin δで割ります⁴。jxは、反対側の歯面まで接触するように組立距離を詰めたときの、詰めた量です。モデルは外端で歯厚を0.10mmずつ薄くしてあり、外端の円周方向バックラッシは0.2mm、法線方向にすると0.188mmです。

大歯車の外端  jx = 0.188 ÷ (2 × sin 20° × sin 56.31°) = 0.33 mm
内端          0.33 × 36.08 ÷ 54.08 = 0.22 mm

ところが、モデルは0.33mmよりずっと手前で干渉しました。歯厚は頂点に向かって細くなるので、内端のクリアランスは外端の0.667倍しかありません。一方、軸方向に動かしたときに歯面が詰まる量は、内端も外端も同じです。そのため先に内端が接触し、式では0.22mmになります。

モデルでは0.24mmでまだ0.0005mm残り、0.25mmで0になりました。式より0.02mmほど深く入ったのは、歯面のインボリュートを3本の線分で近似した分、クリアランスが少し広いからです。もっとも、これはモデルの歯形での値です。線分を11本に増やして計算し直すと、入力の角度によっては0.19mmほどで接触しました。大歯車の歯先側は圧力角が20度より大きく、押し込むと式より早く詰まるためです。

次のグラフは、組立距離のずれとバックラッシを、式で描いたものです。青い内端の線が0を下回る位置と、小歯車を表す灰色の線の傾きを見てください。

小歯車の線は、大歯車よりゆるやかです。同じクリアランスを詰めるのに、小歯車は大歯車の1.5倍動かす必要があります。sin δ2とsin δ1の比が、ちょうど歯数比の1.5になるからです。モデルでも、0.2mm押し込んだときに残るクリアランスは、小歯車で0.027mm、大歯車で0.011mmでした。

逆に組立距離を長くする側へ引くと、クリアランスが開いていきます。大歯車を1mm引いたときの外端の円周方向バックラッシは、式で計算すると0.81mmです。設計の4倍です。2枚の基準円すいは母線が平行のまま0.83mm離れ、外端で歯がかかる深さは6mmから5.17mmに減ります。

歯当たりの位置も変わります。モデルで最短距離になる点を追うと、設計の位置では基準円すいのすぐ近くにありました。ところが大歯車を0.5mm引くと小歯車の歯先側へ移り、入力の角度6通りのうち2通りでは歯先の角そのものです。相手は大歯車の歯元寄りです。KHKの英語版技術資料も、小歯車の組立距離が狂った場合について、片方の歯車では歯先寄り、もう片方では歯元寄りに当たると説明しています⁵。

クリアランスの開き方も、式とは違ってきます。平歯車なら、中心距離を広げても歯車全体が一方向へ動くだけで、歯面は向き合ったまま離れます。同じ内端の歯形を平面で計算すると、＋0.50mmで片側のクリアランスは0.208mmです。式の0.205mmとほぼ同じです。

一方、かさ歯車を軸に沿って動かすと、どの歯も自分の歯たけの方向へ動きます。インボリュートの圧力角は基準円で20度ですが、歯元へ近づくほど小さくなり、最短距離の点では15度ほどです。大歯車の歯元側では同じだけ動いても歯面があまり離れないので、モデルのクリアランスは0.171mmにとどまりました。

バックラッシを調整するときも、片方だけを動かすのは避けます。KHKは、シムで組立距離を変える方法が一般的としたうえで、大小の歯車をバランスよく調整して歯当たりを保つよう求めています⁴。英語版技術資料には配分の表もあり、歯数比1.5なら小歯車を0.81jn、大歯車を1.22jn動かすと、法線方向バックラッシがjnだけ変わります。KHKは、歯当たりを変えないための移動量としています⁵。2つの動きを合わせると、2枚を母線に直角な方向へjn ÷ (2 sin α)だけ離す動きになりました。歯数比5までの行も、この計算と小数第2位まで合います。大歯車だけを引けば、相手から見て母線の方向にもずれます（1mm引くと0.55mm）。歯当たりを変えないとは、このずれを出さないことだと編集部は読んでいます。

組立距離の公差を積み上げる

では、組立距離の公差はどのくらいか。KHKは同社の標準かさ歯車について、研削した歯車でH7、切削した歯車でH8を勧めています⁵。55mmならH8は0〜+0.046mmです⁶。グラフの式に入れても、外端のバックラッシは最大0.028mm増えるだけです。

H公差は下の寸法差が0なので、組立距離のこの公差だけを見れば、押し込む側には外れません。KHKは理由を書いていませんが、押し込みに弱いかさ歯車に合った決め方だと思います。もっとも、Gear Technology誌の解説によると、位置決め面から歯先までの寸法にも±0.05〜0.1mmほどの公差がよく付きます³。押し込む側の余裕は、歯車の公差と軸受の軸方向すきままで積み上げて見ておきます。

例として、歯車の公差の下側を上の±0.05〜0.1mmの大きいほうの0.1mm、軸受の軸方向すきまを0.05mmと仮に置き、押し込む側へワーストケースで積み上げると次のようになります。どちらも計算のために置いた値で、実際の値は歯車と軸受の仕様で確認します。

押し込む側の積み上げ  0.1 + 0.05 = 0.15 mm
内端が接触するまで    式 0.22 − 0.15 = 0.07 mm
                      線分11本のモデル 0.19 − 0.15 = 0.04 mm

押し込む側の余裕は、モデル単体では0.2mm前後ですが、この例の値で積み上げると0.04〜0.07mmしか残りません。同じ解説は、大小どちらの組立距離も調整できるようにハウジングを設計し、ふつうはシムで調整すると書いています³。最初に挙げた自前の軸受台でも、シムを入れる段は残しておきたいところです。

部品の組ごとのクリアランスを判定する機能は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにも入っています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成し、生成するたびに検図の結果を○▲×で示します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。0.068mmのような歯面のクリアランスに対して、組立距離の公差をどこまで許すかは、上の積み上げのように設計者が決める値です。

スラストは頂点から離れる向き

かさ歯車の歯は円すい面にあるので、回転させると軸方向にも力が出ます。この軸方向力がスラストです。KHKの式⁷で、入力に10N·mをかけたときを計算しました。dmは歯幅中央の基準円直径、Fxは軸方向力、Frは半径方向力です。

dm1 = d1 − b sin δ1 = 60 − 18 × 0.5547 = 50.02 mm
接線力  Ft  = 2 × 10 ÷ 50.02 × 1000 = 399.9 N
小歯車  Fx1 = Ft tan α sin δ1 = 80.7 N    Fr1 = Ft tan α cos δ1 = 121.1 N
大歯車  Fx2 = Ft tan α sin δ2 = 121.1 N   Fr2 = Ft tan α cos δ2 = 80.7 N

小歯車の軸方向力は、大歯車の半径方向力と同じ値です。軸角90度なら、駆動側と被動側で軸方向と半径方向の力が入れ替わります⁷。大歯車のスラストは小歯車の1.5倍で、これも歯数比と同じです。マイタ歯車なら、2枚ともFtの0.257倍です。

向きは、回転を逆にしても変わりません。すぐばかさ歯車では、どちらの歯車も円すいの頂点から離れる向きに押されます。KHKの図は両方の回転方向でこの向きを示していて⁷、英語版の製品ページにも、すぐばかさ歯車には内向き（マイナス）のスラストが出ないとあります⁸。ただし、まがりばかさ歯車は事情が違い、ねじれと回転の向きによっては相手に近づくスラストが出ます。軸方向のガタが大きいと、バックラッシが0のかみ合いになることもあるそうです⁷。

ここで、前のグラフを思い出してください。すぐばかさ歯車で、スラストが歯車を押す先は、組立距離が長くなる側、つまりクリアランスが開く側です。軸受に軸方向のすきまが0.05mmあっても、運転中は大歯車の外端でバックラッシが0.03mm増えるくらいで、歯は干渉しません。

もっとも、歯車が軸の上で動いてよいわけではありません。KHKは、回転中にスラストがかかるので、かさ歯車が動かないよう固定するよう求めています⁵。ここまでの力は目安です。軸受の選定と軸や歯の強度は、メーカーの資料と設計基準で最終的に判断してください。軸受の形式ごとの考え方は、軸受の選び方を見てください。

コンベヤに必要なトルクは、搬送するワークの質量とコンベヤに載る個数、搬送速度で決まります。こうしたワークの条件は、図面だけでは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

かさ歯車を4個組み合わせると、差動歯車になります。あの記事のモデルでも、4個の円すいは頂点をすべてケース中心の1点に集めてあります。かさ歯車の図面で寸法の基準を探すなら、歯車の端面ではなく、軸が交わるその1点からです。

2026年11月9日 更新：組立距離の公差の積み上げと歯のクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「かさ歯車の寸法計算」（2026年11月1日に確認）。式（4.20）と（4.21）、表4.16（グリーソンすぐばかさ歯車の計算）によります。マイタ歯車の定義、グリーソン式の転位とマイタ歯車が転位しないこと、かみ合いを正面で平歯車に近似できること、決められた歯数の組み合わせ以外では正しくかみ合わせられないことも同じページにあります。モデルの歯の作り方は編集部によるものです。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. 小原歯車工業「歯車記号と用語」（同日に確認）。表1.3は基準円すい角δと、かみ合いのピッチ円すい角δwを分けて載せています。このモデルのように頂点を交点に合わせて組めば、2つの基準円すいがそのまま転がり合う円すいになります。 ↩

3. Stephen Marsh「How to Design and Install Bevel Gears for Optimum Performance: Lessons Learned」（Gear Technology 2013年6・7月号、同日に確認）。組立距離（mounting distance）の定義、すぐばかさ歯車のピッチ円すいの頂点が軸の交点に来ること、頂点から歯先までの値が式で決まること、位置決め面から歯先までの寸法に±0.05〜0.1mmの公差がよく見られることが書かれています。組立距離が短いと歯が当たって摩耗や破損を招き、長いと全体でかみ合わずバックラッシが大きくなる、ともあります。 ↩ ↩ ↩ ↩

4. 小原歯車工業「各種歯車のバックラッシ換算式」の表6.1と表6.3、同「各種バックラッシの説明」の軸方向の遊びの定義（どちらも同日に確認）。内端への当てはめと、歯面の線分を増やした計算、平面の平歯車との比較は編集部の計算です。 ↩ ↩

5. KHK「Bevel Gears KHK Technical Information」（小原歯車工業が出す英語版カタログの技術資料、同日に確認）。組立距離の推奨公差、組立の誤差と歯当たり、歯当たりを変えずにバックラッシを変えるための軸方向の移動量の表、スラストに対する固定の注意によります。表の値を母線に直角な動きと読んだのは編集部で、歯数比1.5〜5の行はjn ÷ (2 sin α)にsin δを掛けた値と小数第2位まで一致します。15以上の行の大歯車1.40jnだけは、この計算では1.46jnです。 ↩ ↩ ↩ ↩

6. OSG「はめあいの寸法許容差（JIS B0401抜粋）」の「50を超え65以下」の行（同日に確認）。H7は0〜+0.030mmです。 ↩

7. 小原歯車工業「交差軸歯車」（同日に確認）。式（12.1）、図12.3、表12.4の式、まがりばかさ歯車のマイナスのスラストの注意によります。 ↩ ↩ ↩ ↩

8. KHK「Bevel Gears」（小原歯車工業が出す英語版の製品ページ、同日に確認）。 ↩