ローラーチェーンの多角形効果。12歯のスプロケットでワークの搬送速度は3.4%変動する

例として、ローラーチェーンで駆動するコンベヤでワークを搬送する場面を考えます。ワークの側から決まるのは、搬送速度と、速度変動や上下動をどこまで許せるかです。12歯のスプロケットでローラーチェーンを駆動すると、チェーンの速度は1歯ぶん進むたびに3.4%下がって、また元に戻ります。モータが一定の速さで回転していても、です。チェーンはスプロケットに円ではなく多角形として巻き付くので、引き出される速度がスプロケットの回転角で変わります。

この現象を多角形効果と呼びます。椿本チエインの技術資料は「多角形運動」とも「コーダルアクション」とも書いています¹。英語のchordal actionから来た呼び名です。

下のモデルは、呼び番号40相当（ピッチ12.70mm）のチェーン58リンクを、12歯と24歯のスプロケットに掛けたものです。12歯は、速度変動を見やすくするために選んだ、推奨より少ない歯数です。上側が張り側で、左の12歯が駆動。張り側の左端に目を近づけると、直線部が1歯ごとにわずかに上下しながら進みます。

チェーンは1リンクずつ別の部品にしました。内リンクは内プレート2枚とブシュとローラー、外リンクは外プレート2枚とピンで、この2種類が交互に並びます²。寸法は椿本チエインのRS40の寸法図から、ローラー径7.92mm、内リンク内幅7.95mm、プレートの厚さ1.5mmと高さ12.0mm、ピン径3.97mmを取りました³。

歯形はJISのS歯形を写していない模式です。ローラーの座の半径だけをS歯形の式から取り、0.5025 × 7.92 + 0.038 = 4.018mmとしました⁴。歯面は、隣のローラーの中心を中心にした半径8.622mmの円弧です。

動きは計算で決めました。張り側はまっすぐ張っているとみて、両端のピンの距離がちょうどリンク数ぶんになるように従動側の角度を解き、たるみ側は両端を通る円弧に垂らしました。

ピンが歯にかみ合う瞬間も離れる瞬間も、ローラーと歯、リンクどうしはどこも干渉しません⁵。

ローラーと歯の最短距離は、座で0.058mmです。チェーンのように同じ部品の組が多く並ぶ機構では、部品の組ごとに、動作の各時点でクリアランスを確認することになります。提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでは、こうした確認ができます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成し、生成するたびに検図の結果を○▲×で示します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、ピンがかみ合う瞬間や離れる瞬間のクリアランスを確認できます。

速度が下がるのは弦が傾くとき

スプロケットの上で、ピンの中心はピッチ円に乗り、リンクはその弦になります。ピッチ円直径は、ピッチと歯数から決まります⁴。

ピッチ円直径 Dp = P ÷ sin(180°/N)   P はピッチ、N は歯数
12歯 Dp = 12.70 ÷ sin 15°  = 49.07 mm
24歯 Dp = 12.70 ÷ sin 7.5° = 97.30 mm

張り側の直線部の端は、最後に歯にかみ合ったピンです。このピンが中心の真上に来たとき、チェーンはピッチ円の周速のまま引き出されます。真上から前後に180°/Nずれると、ピンの動く向きが直線部から傾き、引き出す速度はcos(180°/N)倍に下がります。

最大の速さ  v max = ω × Dp/2
最小の速さ  v min = ω × Dp/2 × cos(180°/N)
速度変動率  (v max − v min) ÷ v max = 1 − cos(180°/N)
12歯        1 − cos 15° = 1 − 0.96593 = 0.0341（3.41%）

U.S. Tsubakiの手引きも、速度変動率をこの式で示しています⁶。モデルで張り側の速度を計算しても、変動率は3.41%で式と同じでした。直線部の向きは1ピッチのあいだに0.18°振れますが、速度変動にはほとんど影響しません。

同じ動きは、上下動にもなります。ピンの高さは、真上でDp/2、いちばん傾いたときにDp/2 × cos(180°/N)です。12歯なら24.53 × 0.0341で、差は0.84mm。椿本チエインの資料は、この上下動とチェーンの固有振動数、相手の機械の衝撃の周期が同調すると、チェーンが振動することがあると書いています¹。

速度変動は、1秒に何回来るのでしょう。回数は、歯数に毎分の回転数を掛けて60で割った値になります。たとえば、12歯を200r/minで回すと、チェーンの平均の速さは12.70 × 12 × 200 ÷ 60,000で0.508m/s。その速度が、1秒に40回、約0.017m/sの幅で変動するわけです。

この速度変動は、搬送位置のずれに直すこともできます。ピンが真上からφ回った位置でのチェーンの進みはR sin φ、一定の速度で進んだときの位置はφ × sin(180°/N) ÷ (180°/N) × Rです。Rはピッチ円の半径で、12歯なら24.535mmです。

ずれ  e = R × (sin φ − φ × sin 15° ÷ 0.2618)     15° = 0.2618 rad
最大  cos φ = sin 15° ÷ 0.2618 = 0.98862 → φ = 0.15103 rad
      e = 24.535 × (0.150456 − 0.149311) = 0.028 mm

チェーンと一緒に進むワークの位置は、一定の速度で進んだ位置から1ピッチの中で±0.028mmほどしかずれない計算です。位置のずれで見ると、多角形効果の影響は小さいといえます。3.41%の速度変動（200r/minなら1秒に40回）と張り側の0.84mmの上下動がワークにどこまで伝わるかは、このモデルからは決まりません。

動画では、張り側の直線部が1歯ごとに上下しながら進む様子を見てください。

速度変動率は歯数の2乗に反比例する

歯数を変えて、速度変動率と上下動を計算しました。上下動は、ピッチ12.70mmのときの値です。

歯数	速度変動率	上下動
9	6.03%	1.12mm
12	3.41%	0.84mm
13	2.91%	0.77mm
15	2.19%	0.67mm
17	1.70%	0.59mm
25	0.79%	0.40mm

12歯を17歯にすると、変動率はほぼ半分になります。cosを近似すると、変動率はπ² ÷ (2N²)と書けるからです。つまり歯数の2乗に反比例します。一方、上下動のほうはピッチ円が大きくなるぶんが影響して、歯数に反比例するだけです。12歯から17歯で、0.84mmが0.59mmになります。

次のグラフでは、15歯を過ぎたあたりから曲線が寝ていくところを見てください。

25歯から40歯に増やしても、0.79%が0.31%になるだけです。そのぶんピッチ円直径は101.33mmから161.87mmに広がります。歯数を増やす効果が大きいのは、20歯くらいまでのところでしょう。

椿本チエインの資料によると、小スプロケットは15歯以上が適当です。速比が大きく、大スプロケットが120歯をこえるときは歯数を減らしますが、その場合でも、すすめる歯数は13歯以上です。12歯以下が使えるのは、ごく低速で衝撃がかからない場合です⁷。モデルの12歯は、この境目の下にあたります。

従動側の回転変動は中心距離で変わる

張り側の速度が変動すると、従動の24歯の回転も変動します。モデルでは、従動スプロケットの角速度が平均の0.977倍から1.010倍まで動き、変動率は3.26%でした。

24歯だけの変動率は0.86%です。12歯の3.41%と単純に足せば4.26%、引けば2.55%。モデルの値はそのあいだに入りました。駆動側と従動側の多角形の山と谷がどう重なるかで、合計が変わるのです。

重なり方を決めるのは、中心距離とピッチの関係です。U.S. Tsubakiの手引きは、中心距離がピッチの整数倍なら変動は小さく、整数倍に半ピッチを足した距離なら大きくなると説明しています⁶。このモデルの中心距離は19.90ピッチ。そこで、リンクを1つ足して59リンク、20.40ピッチにした場合も計算しました。

次のグラフでは、青と灰色の線の山の高さと谷の深さを比べてください。

59リンクでは、従動側の変動率が3.73%に増えました。ただ、中心距離の真ん中で測った直線部の上下の幅は逆で、58リンクが0.47mm、59リンクは0.38mm。両端の上下がそろって動くか、打ち消し合うかの違いです。

リンク数は偶数に丸める

では、中心距離はどう決めるのでしょうか。図面で中心距離を255mmに引いたとして、必要なリンク数を椿本チエインの式で求めます⁸。

L  = (N1 + N2)/2 + 2Cp + ((N2 − N1)/(2π))² ÷ Cp
Cp = 255 ÷ 12.70 = 20.0787（中心距離をピッチの数で表した値）
L  = 18 + 40.1575 + 0.1817 = 58.34

端数はわずかでも切り上げて1リンクに数える決まりなので、59リンクになります⁸。ところが、59は奇数です。

内リンクと外リンクは交互に並ぶので、輪につなぐにはリンク数が偶数でなければなりません。奇数だと、どこか1か所で内リンクどうしか外リンクどうしが向き合います。そこに入れるのがオフセットリンクです²。片側が内リンク、反対側が外リンクの形になるように、曲げたプレートでつなぎます。RS40では、1ピッチ形のオフセットリンクを使うと最大許容張力が65%に下がり、3.63kNが2.36kNになります。2ピッチ形なら100%のままです³。

椿本チエインの手順では、オフセットリンクをなるべく使わず、中心距離か歯数を変えて偶数リンクにします⁸。偶数のリンク数から中心距離を逆に解くと、次のようになります。

C = P/8 × {2L − N1 − N2 + √((2L − N1 − N2)² − 8(N2 − N1)²/π²)}
58リンク  2L − N1 − N2 = 80
          √(6400 − 116.72) = 79.267
          C = 12.70 ÷ 8 × (80 + 79.267) = 252.84 mm

椿本チエインの式の2πは6.28、π²は9.86です。9.86で計算すると根号の中で引く値は116.84になりますが、中心距離は小数第2位まで変わりません。

リンク数	中心距離	255mmとの差
58	252.84mm	−2.16mm
59	259.22mm	＋4.22mm
60	265.59mm	＋10.59mm

偶数にこだわると、中心距離は2.16mm縮めるか、10.59mm伸ばすかの二択です。椿本チエインの計算例は、68.2リンクを切り上げて70リンク。中心距離を伸ばす側への丸め方です⁸。ここでは255mmに近い58リンクを選びました。縮める側に丸めるなら、スプロケットどうしや周りの部品とのクリアランスに2.16mmの余裕があるかを確認しておきます。歯数の和が36のこの組では、偶数リンクの中心距離がピッチのほぼ整数倍になり、前の節で見た従動側の回転変動も小さいほうに入ります。

19.9ピッチという中心距離は、椿本チエインが好ましいとするピッチの30〜50倍より短めですが、変動荷重がかかるなら20倍以下が適当という条件もあります。小スプロケットの巻付角は169.05°で、必要とされる120°以上に収まります¹。

たるみは0.1mmの差で決まる

式で出した252.84mmで組むと、チェーンはどうなるでしょうか。モデルで多角形のまま長さを計算すると、たるみ側に余りがほとんどなく、瞬間によっては0.009mm足りずに張ってしまいました。

椿本チエインの資料は、たるみ側の中央を手で直角に動かせる幅SS'を、スパンの約4%にするよう勧めています¹。モデルでは中心距離を0.1mmだけ縮めて252.74mmにし、たるみ側に平均0.20mmの余りを作りました⁹。

余り  ΔL = 0.201 mm、たるみ側のスパン s = 256.47 mm
SS' ≈ 2 × √(((s + ΔL)/2)² − (s/2)²) = 10.15 mm（スパンの3.96%）
SS' を4%にする余り = 2 × (0.02 × s)² ÷ s = 0.205 mm

スパンの4%、10mmという見た目に比べて、長さの余りはわずか0.20mmです。しかも余りは多角形効果で0.15〜0.26mmのあいだを動くので、SS'も1ピッチごとに3.4〜4.5%のあいだで変動します。3Dの下側のチェーンが小刻みに上下するのは、このためです。

でも、伸びはこの余りをすぐに追い越します。椿本チエインの資料では、チェーンは使い始めから数十時間で、なじみによって0.05%ほど伸びます¹。58リンクの長さ736.6mmなら0.37mmで、たるみの余り0.20mmより大きい。SS'は17.1mm、スパンの6.7%まで広がる計算です。

寿命の目安は、大スプロケットが60歯以下なら摩耗伸び1.5%です¹⁰。736.6mmの1.5%は11.05mmで、伸びがすべて直線部に出るとみて中心距離に直すと約5.55mm。実際はローラーが歯面を少し登るぶん小さくなりますが、長穴はこの値で見ておくと安全側です。新品のチェーンも、JIS B 1801は長さの許容差を0〜+0.15%と決めていて、58リンクなら最大1.1mm、中心距離で約0.55mm長くなりえます¹¹。0.1mmで決まるたるみは、図面の寸法では作れません。据付で手で押して合わせることになります。だから、軸受台の長穴かテンショナは、長さの公差となじみと摩耗の伸びをまとめて受け持つことになるでしょう。ここまでの値は目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準に任せてください。

搬送するワークの質量と搬送速度、許せる速度変動と上下動、給油できる環境かどうかは、モデルの寸法からは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

タイミングベルトと比べる

同じ歯でかみ合うタイミングベルトにも、円と弦による速度変動はあります。U.S. Tsubakiの手引きによると、その大きさはふつう0.6%に満たず、プーリーの軸のたわみやピッチの誤差が重なると2〜3%になることもあります⁶。ふだんなら、12歯のチェーンの3.41%の5分の1に届きません。Gatesの資料も、台形歯の従来のタイミングベルトは小さなプーリーで弦の効果が出て、自社のGT3の歯形ではそれが大きく減ると説明しています¹²。

椿本チエインが伝動要素を比べた表でも、騒音と振動の欄は、ローラーチェーンが「やや不利」、歯付ベルトが「有利」です¹³。

潤滑も違います。同じ表で、潤滑はチェーンが「必要」、歯付ベルトが「不要」¹³。チェーンの摩耗伸びは、ピンとブシュのあいだの摩耗で起こるので、給油はたるみ側の外プレートと内プレートのすき間を狙います¹⁴。Gatesの資料も、タイミングベルトは潤滑が不要で、使ううちの伸びもごく小さいとしています¹²。

そのかわり、チェーンには長い中心距離をとれること、同じトルクならベルトよりスプロケットを小さくできること、切って継ぐのが容易なことが挙げられています¹⁵。張り側の0.84mmの上下を許せるかどうかが、2つを選び分ける最初の問いになりそうです。

12歯で3.41%、17歯で1.70%。速度変動が問題になる装置なら、小スプロケットの歯数を上げるのがいちばん効果があります。中心距離の寸法を図面に入れるのは、そのあとです。偶数のリンク数を決め、新品の長さの公差から5mmを超える摩耗伸びまで受けられる長穴を描いてから。

2026年11月9日 更新：ワークを搬送するコンベヤの場面から読めるように、搬送位置のずれの計算を加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 椿本チエイン「ローラチェーンの取扱 4. ローラチェーンの配置と据付」（2026年10月31日に確認）。速比、巻付角度、軸間距離、たるみ量、初期のなじみの伸び、コーダルアクションによる振動の項によります。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. 椿本チエイン「ローラチェーンの構造」（2026年10月31日に確認）。内リンクと外リンクの構成、奇数リンクでオフセットリンクを使うこと、極力偶数リンクにすることの記述によります。 ↩ ↩

3. 椿本チエイン「RSローラチェーン」と、RS40-1の詳細ページの寸法図と注記（2026年10月31日に確認）。JIS B 1801:2020に該当する汎用品です。オフセットリンクの形も同じ寸法図によります。モデルのピンは中心から端まで8.25mm（L1）にそろえ、ブシュの外径5.6mmは表に無いので仮の値です。 ↩ ↩

4. 椿本チエイン「ドライブスプロケット 各部名称と寸法一般式」（2026年10月31日に確認）。ピッチ円直径、標準外径、S歯形の座の半径の式によります。モデルの歯幅7.2mmは、同じページにある1列のRS40の歯幅の最大値7.3mmより薄くしました。 ↩ ↩

5. ピンがかみ合う瞬間と離れる瞬間を含む11コマで、ローラーと歯、隣り合うリンクどうしの干渉体積をブーリアン演算で計算すると、1,647組のどれも0でした。駆動側だけを半ピッチずらすと1リンクあたり178mm³以上の干渉体積が出るので、この計算は干渉を検出できています。ローラーと歯の最短距離は、座での0.058mmです。 ↩

6. U.S. Tsubaki「The Complete Guide to Chain」 p.16（2026年10月31日に確認）。速度変動率の式、中心距離とピッチの関係、歯付きベルトでも同じ円と弦による速度変動が出て、ふつうは0.6%未満、軸のたわみやピッチの誤差が重なると2〜3%になるという記述によります。 ↩ ↩ ↩

7. 椿本チエイン「ドライブスプロケット 構造・材質・歯先仕様・軸穴仕様」の「5.2 歯数」（2026年10月31日に確認）。 ↩

8. 椿本チエイン「ローラチェーンの選定 5. 一般選定法」の手順6、手順7、リンク数の計算式と選定例（2026年10月31日に確認）。 ↩ ↩ ↩ ↩

9. SS'は、たるみ側を中央で押し上げたときと引き下げたときに、チェーンがV字に張り切るとして計算しました。チェーンの重さは入れていません。円弧に垂れた静止の状態では、中央の垂れは約4.4mmです。 ↩

10. 椿本チエイン「ローラチェーンの取扱 7. ローラチェーンの点検」の伸びの使用限界（2026年10月31日に確認）。 ↩

11. 椿本チエイン「ドライブチェーンとは 用語説明」の「6. ローラチェーンの全長公差」（2026年10月31日に確認）。JIS B 1801:2020で、測定荷重をかけたときの長さの許容差を基準の長さの0〜+0.15%としている、という説明によります。 ↩

12. Gates「Light Power & Precision Drive Design Manual」 p.2、p.4、p.13、p.67（2026年10月31日に確認。販売店が公開しているPDFを読みました）。ページ番号は紙面の番号です。 ↩ ↩

13. 椿本チエイン「伝動要素の一般的な比較」（2026年10月31日に確認）。表は記号で書かれていて、「やや不利」「有利」などは同じページの凡例の言葉です。 ↩ ↩

14. 椿本チエイン「ローラチェーンの取扱 3. ローラチェーンの潤滑」の給油の位置（2026年10月31日に確認）。 ↩

15. 椿本チエイン「ローラチェーン伝動の特性から見た特長と留意点」（2026年10月31日に確認）。同じページは、多角形運動による速度変動は歯数を多くすることで影響を少なくできる、とも書いています。 ↩