直列4気筒のクランク位相と往復慣性力、2次だけが4倍で残る理由

1本のクランク軸で複数のピストンやスライダを往復させる機構では、往復する質量と回転数、クランクの位相で、フレームを揺する力のどの成分が消え、どの成分が残るかが決まります。この記事では、その代表例である直列4気筒エンジンのクランクシャフトのモデルで計算します。

6,000rpmで回すと、1気筒ぶんの往復慣性力は、上死点で8.57kNに達します。4気筒ぶんを足すと、1回転に1回揺する1次慣性力は0になりました。一方、1回転に2回揺する2次慣性力は1気筒の4倍に増え、約7.5kNが残ります。

クランクピンを0°、180°、180°、0°に並べるのは、1次慣性力に加えて、エンジンを前後に揺する偶力まで打ち消すためです。2次慣性力だけは、この並びでは打ち消せません。

下の3Dは、クランク半径35mm、コンロッド長125mm、シリンダ間隔84mmで作ったモデルです。寸法は編集部で決めたもので、実在するエンジンの値ではありません。外側の1番と4番のピストン（銀色）が上昇するとき、内側の2番と3番（金色）は下降します。金色は一緒に動く組を見分けるための色で、材質は4つとも同じアルミ合金です。シリンダは半透明にできないので、上下の板と柱だけの外枠で表し、手前の柱は中の動きが見えるように両端の2本だけにしました。

部品どうしの干渉は、クランクを30°ずつ12の角度に置いて、干渉体積と最短距離の両方で確認しました。干渉体積はどの組も0mm³で、最短距離がいちばん小さいのはピストンピンと穴の0.01mmです。

下死点にあるピストンのスカートと、真上を向いたカウンタウエイトのクリアランスは11.6mmです。カウンタウエイトは、クランクアームでピンと反対側に付けたおもりです。試しに2番のピストンを16mm下げると干渉が出たので、この確認方法が干渉を見落としていないことも確認できました。カウンタウエイトを大きくするなら、最初に足りなくなるのはこのクリアランスです。

クランク角ごとに部品の組のクリアランスを確認する作業は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにも入っています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワーク仕様などの装置の条件から3Dと組立図、部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻を動かすと、動作中の各時点のクリアランスを確認できます。

ピストンの動きは、2つの波に分けられる

ピストンピンの高さzは、クランク角θ、クランク半径r、コンロッド長lで決まります。θの0は、1番のクランクピンが真上に来たときです。

厳密な式  z = r cos θ + √(l² − r² sin² θ)
近似      z ≈ (l − λr/4) + r cos θ + (λr/4) cos 2θ     λ = r/l = 0.28

近似は、根号からlをくくり出して√(1 − λ² sin² θ)とし、λ² sin² θが小さいとみて√(1 − u)を1 − u/2と置いたものです。このモデルではλ² sin² θが最大でも0.078なので、位置の誤差は0.1mmにとどまります。残ったsin² θを(1 − cos 2θ)/2と書き直すと、cos 2θの項が出てきます。

近似の式の2つ目の項は1回転に1回、3つ目の項は1回転に2回揺れる波です。クランク・スライダ機構で、動きが正弦波からずれると書いたのは、この3つ目の項のことでした。コンロッドのないスコッチヨークには、この項がありません。

上の3Dでクランクを90°まで回すと、ピストンピンの高さは4つとも120mmです。外側の2つは上死点から40.0mm、内側の2つは下死点から30.0mmで、どれもストロークの中央より5mm低い位置です。4つの平均の高さは、0°の125mmと90°の120mmのあいだを1回転に2回往復します。この上下動が、あとで残る2次慣性力のもとです。

上死点の力は、下死点の1.8倍

zを時間で2回微分したものが、ピストンの加速度です。一定の角速度ωで回るなら、往復慣性力は、質量に加速度を掛けて向きを逆にした力です。

加速度   a ≈ −r ω² (cos θ + λ cos 2θ)
慣性力   F = m r ω² (cos θ + λ cos 2θ)     上向きが正

mは往復する質量で、ピストンとピストンピンに、コンロッドの一部を足します。コンロッドの質量は、重心の位置が変わらないように大端と小端の2点へ振り分け、小端の側を往復する質量に入れます¹。モデルの体積から出すと、次の値になりました。

ピストン（A5052）      214.0 g
ピストンピン（S45C）   112.5 g
コンロッド（S45C）     464.4 g   重心は大端の中心から 42.59 mm
小端の側に分ける分     464.4 × 42.59 ÷ 125 = 158.3 g
往復する質量 m         214.0 + 112.5 + 158.3 = 484.8 g

6,000rpmなら、ωは2π × 6,000 ÷ 60 = 628.3rad/sです。

1次の振幅  F1 = m r ω² = 0.4848 × 0.035 × 628.3² = 6,698 N
2次の振幅  F2 = λ F1 = 0.28 × 6,698 = 1,875 N
上死点     F1 (1 + λ) = 8,574 N
下死点     −F1 (1 − λ) = −4,823 N

8,574Nと4,823Nなので、上死点は下死点の1.78倍です。2つの項が、上死点では同じ向きに、下死点では逆向きに重なるからです。次のグラフでは、橙色で描いた合計が、下死点をはさんで平らになるところを見てください。

谷が平らになるのは、λが0.25に近いからです。下死点の近くでは、2次の項が1次の項の変化をほぼ打ち消します。0.25をわずかに超えるこのモデルでは、谷の底が下死点から前後に22°ほど離れた2か所に分かれますが、下死点との差は13Nしかありません。

4気筒を足すと、1次は0で2次は4倍

2番と3番のクランクピンは、1番と4番から180°ずらしてあります。θに180°を足すと、cos θは符号が反転します。一方、cos 2θは360°ずれるだけなので、元の値に戻ります。

1番と4番   F = m r ω² ( cos θ + λ cos 2θ)
2番と3番   F = m r ω² (−cos θ + λ cos 2θ)
4気筒の和  ΣF = 4 λ m r ω² cos 2θ = 7,502 N × cos 2θ

1次の項は2本ずつ逆を向いて、和は0になります。2次の項は4本とも同じ向きにそろいます。Motor-Fanの解説にも、2次慣性力は「4気筒とも同方向（ピストンが上下運動する方向）に働く」とあります²。

1次の項が打ち消し合うのは、4本の往復する質量が等しいからです。1本だけ往復する質量がΔm重いと、1次の項はΔm r ω² cos θだけ残ります。このモデルのrとωなら、1gの差ごとに0.001 × 0.035 × 628.3² = 13.8Nです。同じ並びのクランクで、例としてワークを載せたスライダを往復させる装置に使うなら、往復する質量にワークの質量が加わります。ワークの質量のばらつきや、ワークを載せない空のスライダが混ざる運転があるかは、客先に確認しておく項目です。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

では、4気筒にすると揺れはどれだけ小さくなるのでしょうか。1気筒、クランクピンを180°ずらした2気筒、4気筒の和を重ねました。橙色で描いた4気筒の山が、灰色の1気筒の山からどれだけ下がったかを比べてください。

4気筒の和は、上向きの山が7.50kN、90°と270°の谷が−7.81kNです。向きを問わない大きさで1気筒の8.57kNと比べると0.91倍で、1割ほどしか下がりません。1次が消えたぶんを、4本ぶん積み上がった2次慣性力が埋めてしまうからです。その代わり揺れの周波数は上がり、6,000rpmで1気筒の力は毎秒100回、4気筒の和は毎秒200回揺れます。

谷は、近似の−7.50kNより4%深く出ました。近似で落とした高次の項も、4気筒ではそろって残るためです³。

偶力は、前後対称の並びで消える

力の和が0でも、エンジンが揺れないとは限りません。前のピストンが上へ、後ろのピストンが下へ押せば、上下の力はつり合っても、エンジンは前を持ち上げて傾こうとします。この傾ける作用が偶力です。

シリンダの中心は、エンジンの中央から−126mm、−42mm、42mm、126mmの位置にあります。中央まわりの偶力は、各シリンダに作用する力にこの距離を掛けて足したものです。

1次  m r ω² cos θ × (−126 × 1 + (−42) × (−1) + 42 × (−1) + 126 × 1) = 0
2次  λ m r ω² cos 2θ × (−126 − 42 + 42 + 126) = 0

1番と4番、2番と3番は、中央をはさんで同じ距離に同じ位相で並びます。そのため、どちらの項も前と後ろで打ち消し合います。2次慣性力は残っても、偶力は残りません。Motor-Fanの解説も、直列4気筒では「不平衡偶力は発生しない」としています²。

試しに、ピンの並びを0°、180°、0°、180°に変えて計算しました。距離を掛けた和は−168mmとなり、1次の偶力が残ります。次のグラフで見比べたいのは、青い線の振れ幅と、0から動かない橙色の線です。

ピンの並び	力の最大	偶力の最大
1気筒	8.57kN	0
2気筒（180°）	3.91kN	563N·m
4気筒（0-180-0-180）	7.81kN	1,125N·m
4気筒（0-180-180-0）	7.81kN	0

値はどれも6,000rpmで、向きを問わない大きさです。4気筒の2つの並びは、力の最大がまったく同じになります。クランクの並びを選ぶ決め手は、偶力の差です。

0°、180°、180°、0°は、180°の2気筒を2組、向きを逆にしてつないだ形とも読めます。前の2気筒が残す563N·mの偶力を、後ろの2気筒が逆向きの563N·mで打ち消しています。

2次慣性力は、2倍の速さで回るおもりで消す

残った2次慣性力を打ち消す装置が、バランサーです。ホンダは1989年に出したアコードとアスコットの発表資料で、バランサーを「クランク軸を挟むようにして平行に2本」置き、歯付ベルトで「外側にむけてクランク軸の2倍の速さで回転」させると説明しています⁴。片方はリバースギアを介して逆向きに回し、往復部慣性力による2次振動を打ち消す仕組みです。

なぜ2本を逆向きに回すのでしょうか。偏心したおもりは、回転速度の2乗に比例する遠心力を出します。2本を逆向きに回せば横向きの成分は打ち消し合い、縦の成分だけがcos 2θの形で残ります。この縦の力を、ピストンの2次慣性力と逆向きにそろえればよいのです。

おもりの質量に偏心量を掛けた値を不釣り合いUとして、モデルに必要な大きさを出しました。

2本の縦の力  2 × U × (2ω)² × cos 2θ = 8 U ω² cos 2θ
釣り合う条件 8 U ω² = 4 λ m r ω²  より  U = λ m r / 2
1本あたり    U = 0.28 × 484.8 × 35 ÷ 2 = 2,375 g·mm

偏心20mmなら1本119gで、6,000rpmのときバランサーは12,000rpmです。ピストンの力もおもりの力もω²に比例するので、Uは回転数によらず決まります。おもりの位相は、クランクが0°のときに2本そろって真下を向くように合わせます。

ただし、Motor-Fanの解説によると、2本のバランサーはコストと質量、フリクションが増えるため、近年は採用が減っています²。同じ解説は、すべての負荷領域で完全には釣り合わせられず、アイドルのような低負荷と加速のような高負荷のどちらに合わせるかを選ぶ、とも書いています。上の計算ではUが回転数で変わらなかったので、負荷で変わるのは、このモデルに入れていない燃焼の圧力などが絡むためとみられます。ここまでの力の値は、燃焼による圧力やクランクのねじれを含めない、モデルの寸法から出した目安です。実機で最終の判断をするときは、メーカーの資料と設計基準によってください。

並べ方で消せない成分

2次の振幅λ m r ω²は、m r² ω² ÷ lとも書けます。ストロークを変えずに小さくするには、往復する質量を軽くするか、コンロッドを長くします。往復する質量を同じとみて、コンロッドを125mmから150mmにすると、6,000rpmでの和は7.50kNから6.25kNへ17%下がります。実際には長いコンロッドは重く、小端に乗る分も増えるので、下がり方はこれより小さくなるはずです。代わりに、エンジンの高さが25mm増えます。

回転数の影響はさらに大きく、3,000rpmなら4分の1の1.88kN、1,000rpmでは0.21kNしかありません。直列4気筒では1次が消えて2次だけが残るので、力は回転数の2乗で増え、揺れは高回転ほど強く出るはずです。

ピンを0°と180°だけで並べる限り、打ち消せるのはcos θのように180°で符号が変わる成分に限られます。cos 2θの波は、どう組み合わせても4本そろってしまいます。直列4気筒の振動の話が、最後に2次慣性力へ行き着くのは、そのためです。

2026年11月9日 更新：部品どうしのクリアランスと、往復する質量のばらつきが残す1次の力を加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 大端の中心から重心までをa、コンロッド長をlとすると、小端の側にa/l、大端の側に(l − a)/lを振り分けます。全体の質量と重心の位置が合うので、上下の力の和は、2点に分けても変わりません。合わないのはコンロッドが振れるときの回転の慣性で、クランク軸まわりのトルク（エンジンを回転方向に揺するローリング）を見るときは補正が必要です。大端の側の306.2gは、クランクピンと一緒に回る質量として扱います。 ↩

2. Motor-Fan TECH「エンジンの振動を考える。加振力と偶力、一次二次三次……。［内燃機関超基礎講座］」（Motor Fan illustrated編集部、2023年1月13日。2026年10月31日に確認）。 ↩ ↩ ↩

3. 厳密な式の加速度を級数に展開すると、cos 2θの係数はλよりわずかに大きいλ + λ³/4 + …になり、さらにcos 4θ、cos 6θの項が加わります。どれもθに180°を足しても符号が変わらないので、4気筒で消えるのは1次の項だけです。90°の谷が近似より約310N深いのは、cos 2θの係数の上乗せ（約153N）とcos 4θの項（約156N）が同じ向きに重なるためです。0°ではこの2つが打ち消し合い、山は近似と同じ7.50kNになります。 ↩

4. Honda「ASCOT, ACCORD, ACCORD INSPIRE, VIGOR 1989.09」プレスインフォメーション（2026年10月31日に確認）。歯付ベルトとリバースギアの記述も同じページによります。 ↩