サイクロイド減速機の減速比と出力のガタ、内ピンの穴と外ピンのクリアランスの決め方

サイクロイド減速機の出力に、ワークを保持するアームやテーブルを付けるとします。出力軸からワークの保持位置までの半径、ワークと治具の質量、停止位置に求める精度は、顧客のワークで決まる条件で、先に客先に確認する項目です。減速機の側で決まるのは、減速比と、出力が止まっていても動けるガタの量です。ワークの位置で見たずれは、出力のガタの角度に保持位置の半径を掛けた量になります。

外ピン12本のハウジングに11歯の曲線板を入れたこのモデルでは、入力軸を1回転させるあいだに、曲線板が逆向きに歯1つ分、32.73°だけ戻ります。11回転でやっと1回転なので、減速比は11です。入力1,500min⁻¹なら、出力は1,500 ÷ 11 ≒ 136.4min⁻¹です。歯数の差は1つだけです。

主な部品は4つです。入力軸に付いた偏心体、外周が波の形をした曲線板、外ピンを円周上に並べたハウジング、そして内ピンで曲線板の回転を受け取る出力軸です。サイクロ減速機を作る住友重機械工業グループのカタログには、曲線板の歯は外ピンより少なくとも1つ少なく、入力1回転で歯1つ分逆に進むと書かれています¹。産業用ロボットの関節や工作機械によく使われる減速機です²。

手前の細い腕は、手前の偏心体がずれている向きを指しています。曲線板がどちらを向いているかは、オレンジの板にあけた小さな穴で分かります。腕が1周するたびに、この穴は時計回りに歯1つ分進みます。速さを落とせば、外ピンが谷から谷へ移っていく様子まで確認できます。

曲線板の外形は、あとで示す式から計算した点をなめらかにつないで作りました。ほかは模式です。外ピンは回転しない円柱にし、偏心体の軸受と、内ピンや製品によっては外ピンにもはめるローラ¹は省きました。

外形と外ピンのクリアランスは0.05mm

外形は理論の線から0.05mm内側に下げ、内ピンの穴も片側0.05mm広げました。480コマのうち10コマで、部品どうしの干渉体積をブーリアン演算で計算すると、どの組も0mm³でした。逆に外形を理論の線より0.05mm外へ出すと、外ピンと3.6mm³干渉しました。クリアランスと同じ0.05mmのずれなら、この計算で検出できます。

理論の外形では12本の外ピンがいつも曲線板に接触していて、モデルでは、どのコマでも12本すべてのクリアランスが0.05mmでした。平歯車と比べると、同時にかみ合う数が多い点が特徴です。ただし、同じ向きのトルクを受けられるのは、偏心の向きに引いた線より片側にある5〜6本です。平歯車の2段減速で計算した1段目のかみ合い率は1.65で、同時にかみ合うのは1組か2組です。

出力のガタは内ピンの穴のクリアランスで決まる

曲線板は自転しながら、中心が半径2mmの円を描きます。出力に伝えたいのは自転だけです。そこで、出力フランジに立てた内ピンを、曲線板にあけた大きめの穴に通します¹。

穴と内ピンの中心距離は、どのコマで計算しても2.000mmでした。曲線板の中心は入力軸から2mmずれていて、曲線板と出力フランジは同じ角度だけ回転するからです。そのため穴の半径には、ピンの半径に偏心量を加えた大きさが必要です。それより大きくすると、ピンと穴のクリアランスが出力のガタになります。

穴の径 = 内ピンの径 + 2 × 偏心量 = 7 + 2 × 2 = 11mm

手前から見た内ピンと穴を、入力90°ごとに描きました。黒い点の接点が、入力につれてピンのまわりを回っていく様子を見てください。

向きを固定して見ると、接点は入力1回転でピンのまわりを1周します。サイクロ減速機が内ピンにローラをはめるのは、ここを転がり接触にするためです¹。モデルの穴は11.1mmにして、片側0.05mmずつ逃がしました。穴を理論より0.2mm小さい10.8mmにすると、内ピンと7.7mm³干渉しました。

このクリアランスを出力の角度に直すと、次のようになります。モデルの内ピンは半径24mmの円周上に6本あります。接点の向きが回転の向きとそろったピンで見ると、出力は片側0.05mmのクリアランスの分だけ、曲線板に対して回転できます。

出力のガタ（片側の目安）  0.05 ÷ 24 = 0.0021 rad ≒ 0.12°
ワークの位置でのずれ      保持位置の半径 × 0.0021

外ピンと外形の0.05mmや、偏心体の軸受のクリアランスもガタに加わるので、ここに挙げたのは内ピンの穴だけで見た値です。ワークの停止位置の精度から逆算して、穴のクリアランスをどこまで詰めるかを決めることになります。

穴を広げた分、曲線板の肉は減ります。このモデルでは、穴の外側から谷底まで4.4mmしか残りません。偏心量を上げると歯が高くなると同時に穴も広がるので、ここも合わせて確認する寸法です。

内ピンと穴、外ピンと外形のように、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定する作業は、装置設計の支援アプリ MEKARIQ にも入っています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）干渉部を3Dで赤く表示し、工程表の時刻をスライダで動かして動作中のクリアランスを確認できます。ワークの保持半径や停止精度のように AI が決めきれない条件は、客先への確認事項として一覧にします。

ピンと歯の角度の差が、減速比を11にする

なぜ歯1つ分なのでしょうか。偏心体は回転しますが、曲線板は入力軸のまわりを大きく回るわけではありません。中心が半径2mmの小さな円を描き、そのあいだに、いちばん深くかみ合う位置が12本のピンを順に1周します。

かみ合いがピン1本分の30°進むたびに、曲線板は逆向きに2.73°ずれます。歯1つの32.73°と、ピン1本の30°の差です。

曲線板の歯1つ   360 ÷ 11 = 32.73度
外ピン1本       360 ÷ 12 = 30.00度
入力    30度  → 曲線板   −2.73度
入力   360度  → 曲線板  −32.73度（歯1つ）
入力 1,980度  → 曲線板 −180.00度
入力 3,960度  → 曲線板 −360.00度（11回転）
減速比 = 曲線板の歯数 ÷（外ピンの数 − 曲線板の歯数）= 11 ÷ 1 = 11

分母が歯数差です。差が1のとき減速比はいちばん大きくなり、曲線板の歯数そのものになります。MathWorksの説明でも、出力の回転は入力の（外ピンの数 − 曲線板の歯数）÷ 曲線板の歯数倍で、向きは逆です³。

転がる円に置き換えると、この比はもっと分かりやすくなります。外ピンと曲線板の接点ごとに法線を引くと、12本分の法線はすべて1点を通りました。モデルの寸法で計算すると、その点は曲線板の中心から22mm、入力軸から24mmの位置です。

半径24mmの円の内側を、半径22mmの円が滑らずに転がるのと同じです。中心が1周するあいだに、転がる円は（24 − 22）÷ 22、つまり11分の1回転だけ逆に回転します。22と24は、偏心量2mmに曲線板の歯数と外ピンの数を掛けた値です。

動画では、手前の腕が11回転するあいだに、出力の内ピンがちょうど1周します。

外形は外ピンの中心の軌跡から作る

外形を考えるときは、曲線板の上から外ピンを見ると分かりやすいでしょう。曲線板から見ると、外ピンの中心は歯11個分の波を描いて1周します。この線がエピトロコイドで、外形はそこからピンの半径だけ内側へオフセットした線です。

住友重機械工業の特許では、曲線板を外歯歯車と呼んでいます。その歯形は「エピトロコイド平行曲線よりなるトロコイド形歯形」です⁴。

ピンの中心の軌跡  x = R cos t − e cos Nt
                  y = R sin t − e sin Nt
外向きの法線      (R cos t − eN cos Nt, R sin t − eN sin Nt)
外形の点          軌跡の点 − ピンの半径 × 単位法線
R = 40mm（外ピンの円の半径）、e = 2mm（偏心量）、N = 12（外ピンの数）、ピンの半径 4mm

tは0から2πまで動かす変数です。入力の角度がθのとき、曲線板の中心はe(cos θ, sin θ)に来て、曲線板は−θ/11だけ回転します。ここからピンの位置を曲線板の座標に移すと、この式になります。+Xの向きにある外ピンでは、tがθ/11に当たります。隣のピンは、そこから30°ずつ先です⁵。

歯先の半径はR + e − 4で38.00mm、谷はR − e − 4で34.00mmです。歯たけは偏心量の2倍の4mmで、ピンの径を変えても変わりません。モデルは0.05mm下げたので、37.95mmと33.95mmです。

次の図は、偏心量を変えたときの谷の形とピンの収まり方です。右端の拡大で、外形の線がどこで交わるかを見てください。

偏心量1mmでは歯たけが2mmしかなく、波は浅いままです。逆に3.3mmまで上げると、谷の両側で外形の線が交差し、ピンが式の外形に食い込みました。

偏心量を上げすぎると切下げが起きる

偏心量の上限は、外ピンの数と、ピンを並べる円の半径、それにピンの径で決まります。比べやすいように、λ = e × N ÷ Rとおきました。このモデルは2 × 12 ÷ 40で0.6です。

λが1に達すると、ピンの中心の軌跡そのものが谷でとがります。とがった谷に、丸いピンは収まりません。

実際には、その手前で外形が成り立たなくなります。軌跡の外にふくらんだ部分では、曲率半径がピンの半径より小さくなると、内側へオフセットした線が自分自身と交差するからです。歯車の切下げと同じで、式どおりの外形は作れず、谷の両側がピンの軌跡に削られます。

軌跡の式を2回微分すると、外にふくらんだ部分の曲率半径は次の形になります⁵。

曲率半径 ρ = R(1 + λ² − 2λc)^1.5 ÷ (1 + Nλ² − (N + 1)λc)
c = cos((N − 1)t)。分母が正の範囲が外にふくらんだ部分
切下げにならない条件  ピンの半径 < ρの最小値
モデル  λ = 0.6、ρの最小値 11.77mm（ピンの半径4mmの約2.9倍）

次のグラフで、線が灰色の4mmを下回るところが、切下げの始まりです。

外ピン12本なら、λは0.962、偏心量にしておよそ3.2mmまで上げられます。24本なら0.865、偏心量で1.44mmが上限です。外形を細かい折れ線にして交差を数えても、12本の境目は3.20mmと3.21mmのあいだにあり、式の値と一致しました。

外ピンを増やして減速比を上げるほど、偏心量に使える範囲は狭くなります。24本ではピンどうしのすき間も2.44mmしか残りません。一方、λを小さくする側では、この寸法なら外形は成り立ち、0.2でも最小の曲率半径は16.9mmありました。歯たけ2eが低くなっていくだけです。

2枚目は180度回して重ね、遠心力を打ち消す

偏心量2mmで回る曲線板は、それだけで回転するアンバランス質量になります。材料をS45Cとして密度7.84g/cm³で計算すると、曲線板1枚が168.2g、偏心体が24.8gです。入力1,500min⁻¹なら、遠心力は次のとおりです。

ω = 2π × 1,500 ÷ 60 = 157.1 rad/s
F = (0.1682 + 0.0248) kg × 0.002 m × 157.1² = 9.5 N

9.5Nの力が、入力と同じ速さで向きを変えながら軸受にかかります。1,800min⁻¹なら13.7N、3,000min⁻¹なら38.1Nで、回転数の2乗で増えます。

そこでモデルでは奥に2枚目を入れ、偏心体を反対向きに2mmずらしました。2枚の遠心力は打ち消し合います。ただし、2枚は厚さの中心どうしが8mm離れているので、9.5N × 8mmで0.076N·mの偶力が残ります。どの値も目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

2枚目は、1枚目と同じ形を180°回して入れています。歯数11は奇数なので、180°回すと歯は5.5個分、つまり半歯ずれます。反対側へずれた偏心体の位置で外ピンにかみ合うには、ちょうどこの半歯のずれが必要です。穴は60°おきの6個なので、180°回しても同じ位置に戻ります。

トルクを受けるピンも、2枚で分かれます。理論の外形で計算すると、同じ向きのトルクを受けるピンは、手前と奥の曲線板で反対側の5〜6本ずつになり、重複はありませんでした。

入力1回転で32.73°。歯数差を1のままにするなら、この角度を変えられるのは外ピンの数だけです。外ピンを増やせば減速比は上がりますが、偏心量の上限は下がり、ピンどうしのすき間も狭くなります。外ピンの数と偏心量とピンの径は、曲率半径のグラフを見ながら、ワーク側から決まる停止精度と合わせて決めることになるでしょう。

2026年11月9日 更新：出力に付けたワークから見たガタと、外ピン・内ピンのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. Sumitomo (SHI) Cyclo Drive Germany「SERVO 100 / SERVO 6000」カタログ（2010年）p.5（PDFの通し番号）。住友重機械工業のサイトの資料ではなく、ポーランドの産業機器の販売店RGB Automatykaのサイトに置かれたPDFで、2026年10月31日に読みました。主な部品が4つであること、曲線板の歯がローラの数より少なくとも1つ少なく、減速比が曲線板の歯数に等しいこと、入力1回転で曲線板が歯1つぶん逆に進むこと、回転を内ピンとローラで取り出すこと、内ピンと場合によって外ピンにもローラをはめることが書かれています。 ↩ ↩ ↩ ↩

2. 李樹庭（島根大学）「サイクロイド減速機の設計及び接触強度の数値解析法」（2023年8月22日、2026年10月31日に確認）。 ↩

3. MathWorks「Cycloidal Drive」（Simscape Drivelineのドキュメント、2026年10月31日に確認）。 ↩

4. 住友重機械工業「遊星歯車減速機」特許第2575016号の「従来の技術」（2026年10月31日に確認）。同じ欄に、内歯歯車がピンまたはピンとローラの円弧歯形であることも書かれています。 ↩

5. 外ピンの中心の軌跡、外向きの法線、曲率半径の式は、本文の動き（曲線板の中心がe(cos θ, sin θ)、自転が−θ/11）から編集部が導いたもので、資料の式を写したものではありません。法線が通る点、穴とピンの中心距離、遠心力は、モデルの寸法で計算しました。切下げの境目は、λを少しずつ変えて曲率半径の最小値がピンの半径に等しくなる所を探した値です。 ↩ ↩