カムの形はリフト曲線から計算する。ワークを25mm押し上げる円板カム

例として、フォロワの先端でワークを25mm押し上げ、上昇端で停止させて受け渡し、また下降させる動きを考えます。ワーク仕様と前後の工程から決まるのは、リフト量と、上と下で停止させておく時間、それにワークを載せたときの質量です。カムの輪郭は、きれいな曲線を描いて決めるものではありません。フォロワをいつ、どれだけ動かしたいかをリフト曲線として先に決め、基礎円とローラーの半径を与えれば、輪郭は計算で一つに決まります。

エンジンの吸排気バルブやミシンにカムが使われるのは、この自由さがあるからでしょう¹。下のモデルは、リフト25mmの動きから輪郭を計算した円板カムです。ローラーがカムの上を転がりながら、フォロワを押し上げます。3Dでは、ローラーの中心が上下する量と、上で止まっている区間を見てください。

先にカム線図を描く

このモデルでは、カムの1回転を4つに分けました。120度で25mm上昇し、60度停止し、120度で下降して、また60度停止します。停止する角度を自由に選べるのも、溝の数で停止の割合が決まるゼネバ機構とは違うところです。

ワークから見ると、停止の60度が受け渡しに使える時間です。カムを60rpmで回すと1回転は1秒なので、時間は角度の比で計算できます。

上昇 120° ÷ 360° × 1 s = 0.333 s
停止  60° ÷ 360° × 1 s = 0.167 s

受け渡しに0.167秒で足りないなら、停止角を広げるか、回転数を下げることになります。停止角を広げれば上昇と下降に使える角度が減り、次の節の速度と加速度が上がります。

上昇と下降に使ったのはサイクロイド曲線で²、βは上昇にかける角度です。

変位

s = h ( θβ − 12π sin 2πθβ )

カム角で微分した値

dsdθ = hβ ( 1 − cos 2πθβ )

h＝25mm、β＝120°＝2.094rad

60度の位置で計算してみます。変位はちょうど半分の12.5mmで、ds/dθは最大の23.87mm/radです。60rpmなら角速度は毎秒2πradなので、速度は150mm/sです。

カム線図は、変位と速度を並べて読みます。次の2つのグラフでは、変位の線が急なところほど、速度の線が0から大きく離れていることを見てください。

輪郭はローラーの中心から逆算する

輪郭を直接求めるより、ローラーの中心の軌跡（ピッチ曲線）を先に計算するほうが簡単です。基礎円の半径40mmにローラーの半径12mmを加え、そこへ変位sを加えると、カム角θでの半径になります。

R = 40 + 12 + s

P = R (sin θ, cos θ)

このピッチ曲線を、各点の法線方向に12mmずつ内側へオフセットしたものがカムの輪郭です。モデルでは1度ごとの360点を、閉じたスプラインでつなぎました。

計算のあとで確認しておく数値が2つあります。

1つ目は曲率半径です。ピッチ曲線は全周で凸で、曲率半径の最小は50.3mmです。ローラー半径の12mmより十分に大きく、輪郭が尖る心配はありません。

2つ目は圧力角です。フォロワの進む向きと接点の法線がなす角で、一般に30度未満、低速なら45度未満が目安とされています¹。tan φ = (ds/dθ) ÷ Rで計算すると、このモデルの最大は20.6度でした。

そのため、カムを小さくしたいときはこの角度が制約になります。たとえば基礎円の半径を20mmに半減させると、最大の圧力角は29.0度まで上がり、目安ぎりぎりになります。

フォロワまわりのクリアランス

カムを小さくしたいときに、もう一つ確認するのがクリアランスです。モデルの寸法から、フォロワが上昇端と下降端に来たときの値を計算しました。zはカム軸の中心からの高さです。

ローラーのピンの高さ   下降端 40 + 12 = 52 mm   上昇端 52 + 25 = 77 mm
フォークの上面         上昇端 77 + 19 = 96 mm
案内の下面             99 mm（52 + 25 + 19 + 3）
→ 上昇端のクリアランス 99 − 96 = 3 mm
棒の先端               下降端 52 + 64 = 116 mm   案内の上面 111 mm
→ 下降端でも棒の先端は案内の上面から 116 − 111 = 5 mm 出ている
カムの最大半径         52 + 25 − 12 = 65 mm   ベースの上面 72 mm（軸の下）
→ カムの最大半径が真下を通るときのクリアランス 72 − 65 = 7 mm
フォークとカムの側面   6.6 − 6 = 0.6 mm

上昇端の3mmは、リフトを3mm増やすとフォークが案内に干渉する、という意味です。ワークの高さのばらつきに合わせてリフトを後から増やすなら、案内の位置も一緒に変えることになります。棒の先端より上の空間とワークの載置位置は、このモデルには入っていません。ワークをどの高さで受け取り、どの高さで渡すかは、前後の設備で決まるので、先に客先に確認する項目です。

動作中のこうしたクリアランスは、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでも確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、上昇端でのフォークと案内のクリアランスのように、動作の各時点の値を確認できます。

加速度で曲線と回転数が決まる

同じ120度で25mm上昇させるだけなら、もっと単純な単弦曲線でも足りそうです。コサインの半波で上昇させる形で³、式はs = (h/2){1 − cos(πθ/β)}です。スコッチヨークが往復する正弦波の、半分にあたる動きです。加速度の最大は60rpmで1.11m/s²と、サイクロイドの1.41m/s²より2割ほど低くなります。

それでもサイクロイドを選ぶ理由は、グラフの端にあります。次のグラフでは、0度と120度で2本の線がどう始まり、どう終わるかを見てください。

単弦の加速度は0度と120度で不連続に変わりますが、サイクロイドは0から始まって0で終わります²。ピークが27%高くても選ぶのは、力が急に作用すると振動や騒音の原因になりかねないからです。

もう一つ、加速度は回転数の2乗で増えていきます。フォロワが重力だけでカムに接触しているなら、下向きの加速度（上昇の後半と下降の前半）が重力加速度を超えたところで、輪郭に追従できず浮き上がります³。このモデルなら60×√(9.81÷1.41)で、158rpmが境目です。この境目は質量に関係しないので、フォロワにワークを載せても変わりません。

同じ計算を単弦にも当てはめると、2つの曲線の違いは次のとおりです。

比べる点	単弦	サイクロイド
最大加速度	1.11m/s²	1.41m/s²
端の不連続	ある	ない
浮き上がる回転数	約178rpm	約158rpm

浮き上がる回転数だけを見れば、加速度の低い単弦のほうが20rpmほど高くなります。それでも端の不連続が残るので、このモデルはサイクロイドにしました。

300rpmでは加速度が35.3m/s²になり、フォロワとローラーを合わせた57.8gをカムに押し付けておくには、重力の分を引いても約1.5Nが必要です。ワークを載せるなら、必要な力は m × (a − g) のmにワークの質量を加えた値になります。実機では、ばねで押し付けるか、溝に沿わせて両側から拘束する確動カム¹にすることになります。

このモデルは、動きが見やすいようにばねを省きました。ローラーを片側だけで支持しているのも同じ理由です。ワークの質量と表面の状態、受け渡しの高さは、図面だけでは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

動画では、ローラーがカムの輪郭を転がり、上と下で停止する区間を見てください。

カムの図面を受け取ったら、輪郭より先にカム線図を見せてもらうと、設計者が何を優先したのかが読み取れます。

2026年11月1日 更新：サイクロイド曲線と単弦曲線、浮き上がりの条件に出典を足し、2つの曲線を表で比べました。

2026年11月9日 更新：ワークの受け渡しの時間とフォロワまわりのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. 東京理科大学の機構学の講義資料「カム機構」（2026年10月30日に確認）。 ↩ ↩ ↩

2. King Saud University「ME 363 Mechanics of Machinery: Cams」（講義資料）の「Harmonic Motion」と「Cycloidal Motion」。サイクロイド曲線の変位・速度・加速度の式と、加速度が上昇の始めと終わりで0になること、単弦の加速度が始めで最大になることはこの資料によります（2026年11月1日に確認）。 ↩ ↩

3. 三共製作所「カム用語集」の「単弦曲線」と「跳ね上がり」（Weblio辞書に収録。2026年11月1日に確認）。 ↩ ↩