ユニバーサルジョイントの角速度変動とワークの位置ずれ、2組を正しい位相で組めば等速

例として、ワークを搬送するローラや、ワークを載せて割り出すテーブルの軸を、軸心のずれた位置にある駆動軸からユニバーサルジョイントで駆動する場面を考えます。ワークにとって問題になるのは、出力軸の角度のずれと角速度の変動です。ローラなら搬送速度の変動と送りの位置ずれに、割り出しなら位置決めの誤差になります。ワークに許される位置ずれと速度変動は客先仕様で決まるので、継手の組み方を決める前に確認する項目です。

出力軸は、入力軸と同じ角速度で回転しているのでしょうか。1回転を通した平均なら同じです。ところが1回転の途中では、折れ角30°で入力の0.87倍から1.15倍まで、2回ずつ減速と増速をくり返します。

下のモデルは、奥に1組、手前に中間軸で2組をつないだ形を並べ、どちらの入力も毎秒0.25回転で回しました。奥の出力軸に付けた白い目印は、入力の目印と90°ごとに向きがそろい、そのあいだで最大4.1°遅れたり先へ出たりします。針の先で2mmほどの小さな差なので、下のグラフと合わせて見てください。手前で出力軸に付けた目印は、真ん中の中間軸の角速度が変動していても、入力の目印と同じ向きのまま回り続けます。

寸法は編集部で決めました。軸の直径は12mm、十字軸（クロス）はピン径が7mmで、ピンの先端どうしが30mm離れています。ヨークは軸の端に付いた二股の部品で、2本の腕にあけた穴で十字軸のピンを支持します。手前の2組は、継手の中心どうしが120mmの中間軸を入力から30°折り、出力側で30°戻した形です。入力と出力が60mmずれて平行に並ぶ、Z形と呼ばれる配置です。

ピンと穴のクリアランスは0.05mmとし、実物の針状ころ軸受は描かない模式にしました。入力を1回転させながら15°おきに24コマと、途中の3コマ、計27の姿勢で、部品21組の干渉をブーリアン演算の干渉体積と最短距離で確認しました。干渉体積はどれも0です。最短距離がいちばん小さいのはピンと穴の0.05mmで、入力と出力のヨークどうしは2.67mm離れていました。十字軸をわざと0.2mmずらすと9.90mm³の干渉量が出るので、この確認方法が干渉を見落としていないことも分かります。

回転の各姿勢で部品の組ごとのクリアランスを確認する機能は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワーク仕様などの装置の条件から3Dと組立図、部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、動作中の各時点のクリアランスを確認できます。

十字軸が首振り運動をし、角速度は1回転に2回変動する

入力のヨークが支持するピンは、常に入力軸に直角です。もう1本のピンは出力のヨークが支持し、こちらは出力軸に直角です。2本のピンは十字軸の上で互いに直角なので、軸が折れていると、十字軸は回転しながら首振り運動をします。その首振りの分だけ、出力は入力より遅れたり進んだりします。

十字軸を使うこの形は、フック継手やカルダン継手とも呼ばれます¹。日本語では自在継手とも書きます。直角な2つの軸まわりに回転できる2自由度の継手で、スチュワートプラットフォームの記事でも、脚の付け根の継手を自由度2と数えました。

出力と入力の角速度の比を決めるのは、折れ角βと入力の回転角θ1の2つだけです。

ω2 ÷ ω1 = cos β ÷（1 − sin²β × sin²θ1）

β    折れ角。入力軸と出力軸がなす角（モデルは30°）
θ1   入力の回転角。入力のヨークのピンが、2本の軸を含む面に
     直角になる位置を0°とする
最小  θ1 = 0°、180°   ω2 ÷ ω1 = cos β     = 0.866
最大  θ1 = 90°、270°  ω2 ÷ ω1 = 1 ÷ cos β = 1.155

同じ式は、Danaが出している産業用ドライブシャフトの技術資料にも載っていますが、角度の0°を本文より90°ずらして測ります¹。そのため分母はsin²θ1でなくcos²の形です。資料の角度α1と本文のθ1は90°違うだけなので、sin²θ1 = cos²α1となり、中身は変わりません。

式の元は、入力と出力の回転角の関係 tan θ2 = cos β × tan θ1 です。十字軸の2本のピンが直角という条件だけから導けるので、近似は入っていません。これをθ1で微分すると上の式になります。モデルでも、十字軸のピンが向く方向を0.1°刻みで追って出力軸の回転角を求め、数値で微分しました。30°での式との差は0.0000004以下で、微分の刻みによる誤差の範囲です。

下のグラフは、入力を1回転させるあいだの出力の角速度です。どの折れ角でも90°と270°が山、0°と180°が谷になり、折れ角が大きいほど山と谷の差が開くことを見てください。

山と谷は打ち消し合い、1回転を平均するとちょうど1倍です。出力軸も入力と同じ回数だけ回転するので、平均が一致するのは当然です。問題は1回転の途中にあります。角速度の変動は角度のずれとして積み重なり、30°では出力が入力より最大4.12°遅れ、同じ半回転のうちに今度は4.12°先へ出ます²。

ワークにとっての意味は、出力軸に何が付いているかで決まります。割り出しのように角度で位置を決める軸なら、最大でこの4.12°が位置決めの誤差になります。ワークを搬送するローラなら、外周での送りの遅れと進みは、それぞれ最大で、ローラ半径をrとして r × 4.12 × π ÷ 180 = 0.0719 × r になります。ローラ半径と許される送りの位置ずれは、どちらも客先仕様と装置の構成で決まる値です。

折れ角を半分にすると、角速度の変動幅は約4分の1になる

折れ角ごとの、出力の角速度が変動する範囲は次のとおりです。変動幅は最大から最小を引いた値で、tan β × sin βに等しくなります¹。

折れ角	出力の速さ（入力を1）	幅
5°	0.996〜1.004	0.008
10°	0.985〜1.015	0.031
15°	0.966〜1.035	0.069
20°	0.940〜1.064	0.124
25°	0.906〜1.103	0.197
30°	0.866〜1.155	0.289
35°	0.819〜1.221	0.402
40°	0.766〜1.305	0.539
45°	0.707〜1.414	0.707

表を縦に読むと、10°から20°で変動幅は約4倍になり、20°から40°でもやはり約4倍です。角度が小さいうちは、tan βもsin βもほぼβ（ラジアン）に等しく、変動幅がほぼβ²になるためです。5°なら上下に0.4%ずつしか変動しないのに、45°では上へ41%、下へ29%と、変動が上下で非対称になっていきます。

2組目のヨークの位相で、変動は消えも倍にもなる

1組の角速度変動を打ち消す方法は、もう1組の継手を追加することです。DanaとBelden、国内の三好キカイの資料に共通する条件は、次の3つです³⁴⁵。

1. 2つの継手で折れ角を等しくする
2. 中間軸の両端にあるヨークを同じ向きにそろえる
3. 入力、中間、出力の3本の軸を1つの面の中に置く

手前のモデルは、この3つを満たすZ形です。入力と出力が同じ角度で向き合うW形でも、同じように打ち消せます⁴。

打ち消せるのは、2つの継手で山と谷が重なるからです。ヨークの向きをそろえると、1組目がいちばん遅く回す瞬間に、2組目はいちばん速く回す向きに来ます。つまり、0.866倍と1.155倍が掛け合わされて、積はちょうど1です。ほかの角度でも積は1のままで、モデルで追った出力の角度は、数値計算の誤差の範囲で入力と一致しました。

では、中間軸の片側にあるヨークを90°ずらして組んだらどうなるでしょう。1組目が遅い瞬間に2組目も遅く回し、変動が足し合わされます。位相を誤ると不等速が増幅される、と協和工業も取扱説明で注意しています⁶。出力は0.750〜1.333倍で、変動幅0.583は1組の2.02倍です。1組を41.4°まで折ったのと同じ変動になり、角度のずれも±8.21°に広がりました²。

次のグラフでは、ヨークを同じ向きにした青い線が1から動かないことと、90°ずらした黒い線がオレンジの1組よりさらに大きく振れることを見てください。

ずれが90°より小さければ、変動はどこまで減るでしょうか。10°ずれると0.951〜1.051倍で、1組を18°折ったのと同じです。20°なら0.906〜1.104倍で、1組の25°とほぼ同じです。たとえば、伸縮する中間軸のスプラインを1歯ずらして組み付けると、18歯なら20°のずれです。三好キカイのカタログは、継手を外して付け直す交換や保守点検のときこそ、位相合せに注意するよう求めています³。

位相の数字は、資料によって違って見えます。Danaの資料は2つの継手の関係を「90°」と書き、中間軸のヨークを1つの面に置くことだと言い換えています⁴。一方、Beldenの資料には、内側のヨークをそろえて「180°」ずらすとあります⁵。どちらも中間軸の両端にあるヨークを同じ向きにする組み方で、角度を測る基準が違うだけです。

折れ角の差1.5°で、1組の10°分の変動が残る

2つの折れ角は、いつも正確にそろえられるとは限りません。Danaの資料は、トルクの大きい駆動や高速の駆動では差を1〜1.5°に抑え、低速なら3〜5°の差まで不都合なく使えるとしています⁷。

その1.5°で何が起きるかを、モデルで計算しました。継手1を30°のまま、出力軸を面の中で傾けて、継手2を31.5°にします。出力は0.985〜1.016倍で、1組を10.1°折ったのと同じ変動でした。差は1.5°でも、残る変動は1組の10°分に当たります。差が5°の35°では0.946〜1.057倍となり、1組の18.9°に当たります。残る変動は、1組の式にあるcos βを、cos β2 ÷ cos β1に置き換えた形です²。

軸が2つの面にまたがって折れると、条件はさらに複雑になります。Beldenによると、3本の軸が1つの面から外れれば、等速の関係は失われます⁵。Danaの資料によると、水平と垂直の両方に折れても、Z形どうし、またはW形どうしで角度がそろっていれば、変動は打ち消せます。たとえばZ形どうしなら、入力と出力が平行なので、3本の軸は斜めの1つの面の中にあります。片方がZ形、もう片方がW形になる組み合わせでは内側のヨークをずらす必要があり、その量は同社の技術者に相談するよう求めています⁷。三好キカイのカタログでは、2つの面で折れる取り付けは通常避けるべき条件です³。

出力が等速でも、中間軸の角速度は変動し続ける

手前のモデルで、真ん中の中間軸を見てください。出力は等速なのに、中間軸だけは1組の出力と同じ0.866〜1.155倍で変動したままです。角速度が変動すれば、そのたびに加速と減速の力が必要です。その大きさを表すのが角加速度で、角速度の比を時間で微分すると求められます²。

ε = ω1² × cos β × sin²β × sin 2θ1 ÷（1 − sin²β × sin²θ1）²

回転数と折れ角      中間軸の最大の角加速度
1,500rpm、30°      7,268 rad/s²
3,000rpm、15°      6,853 rad/s²
3,000rpm、30°      29,073 rad/s²

回転数を2倍にすると最大の角加速度は約4倍になりますが、同時に折れ角を半分にすれば、ほとんど変わりません。角度が小さいうちは、最大値がほぼ（ω1 × β）²で決まるからです。βはラジアンで入れます。Danaの資料が許容する折れ角を回転数と折れ角の積で区切るのも、中間軸の角加速度がこの積で決まるからです⁸。同じ資料によると、1つの継手で折れる最大の角度はシリーズによって5〜44°で、回転数が上がるほど小さく抑える必要があります。

1組で折れる角度の上限は、メーカーによってかなり違います。Beldenは45°までとし、それより大きな角度は、ある程度の回転数で回す使い方には勧めていません⁹。国内では、三好キカイが単式で30°まで、協和工業はシリーズにより15〜30°です³⁶。回転数が上がると軸受の形式も変わり、1,000rpmを超えて頻繁に、または連続で回すなら、ころ軸受か針状ころ軸受の継手を使う、というのがBeldenの示す原則です¹⁰。2組にしても残る中間軸の角速度変動は、4,000rpmほどの高速で問題になりうるそうです⁵。

このモデルなら、入力と出力のヨークが干渉し始めるのは57.1°です。もっとも、形状の上で57°まで折れても、使える角度は角速度変動と回転数のほうで、ずっと手前に決まります。この記事に挙げた折れ角、折れ角の差、回転数はどれも目安で、最終の判断は使う継手のメーカー資料と設計基準で行ってください。

動画でも、奥の1組と手前の2組を同じ速さで回しました。

奥の1組では、出力軸の目印が入力の目印に対して遅れたり進んだりする様子を見てください。

出力軸は、平均なら入力と同じ速さで回転します。1組で済ませるか2組にするかを分けるのは、ワークを扱う出力側が、30°で最大4°遅れたり進んだりし、角速度が上下に13〜15%変動することを受け入れられるかどうかです。受け入れられないなら2組にします。2組にするなら、中間軸にあるヨークの向きと2つの折れ角を図面に書き込んでおくと、組立で位相を取り違えずに済みます。

ワークに許される位置ずれや速度変動、駆動する軸の回転数は、モデルの寸法からは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

2026年11月9日 更新：ワークを搬送・位置決めする軸での使い方と、角度のずれが位置ずれになる量、部品どうしのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. Dana（Spicer Gelenkwellenbau）「Driveshafts for Industrial Applications」（Release 04/2018） p.36〜37（「cardan joint (or Hooke's joint)」の呼び名、回転角の関係、角度のずれの最大、角速度の比、最大1 ÷ cos β、最小cos β、幅U = tan β × sin β）。GWBブランドの公式サイトが公開しているPDFです。ページ番号は紙面の番号で、PDFの通し番号は2つ後ろです。同資料の式は入力の角度α1を本文のθ1より90°ずらして測るので、分母は1 − sin²β × cos²α1の形です。2026年11月1日閲覧。 ↩ ↩ ↩

2. 角度のずれの最大は、tan θ2 = cos β × tan θ1 から atan((cos β − 1) ÷ (2√cos β)) で求めました（同じ式はDanaの資料 p.36にもあります）。中間軸の角加速度は、角速度の比をθ1で微分してω1²を掛けた式です。ヨークを90°ずらしたときと、折れ角がそろわないときの揺れは、モデルで十字軸のピンが向く方向を追って求め、それぞれ cos²β、cos β2 ÷ cos β1 を使った式と一致しました。どれも編集部の計算です。 ↩ ↩ ↩ ↩

3. 三好キカイ「MIYOSHI UNIVERSAL JOINTS」Vol.3-4 p.2「設計及び取扱い説明」（入力角と出力角を同じ屈折角にし、軸Ⅰ、Ⅱ、Ⅲを同一平面に置く。最大曲り角度は同一平面上で単式30°、複式60°まで。2つの面で折れる合成屈折角は通常避ける取り付け条件。入力側と出力側のヨークをそろえる位相合せと、90°ずれたときの回転速度の図。交換や保守点検のときの注意）。2026年11月1日閲覧。 ↩ ↩ ↩ ↩

4. Danaの同資料 p.38（2つの折れ角を等しくする、2つの継手を90°の関係にし中間軸のヨークを1つの面に置く、Z形とW形）。 ↩ ↩ ↩

5. Belden「U-Joint Phasing」（3本の軸を1つの面に置く、2つの折れ角を等しくする、内側のヨークをそろえて180°、中間部は揺れ続け4,000rpmほどで問題になりうる）。2026年11月1日閲覧。 ↩ ↩ ↩ ↩

6. 協和工業「取扱説明」（シングルジョイントは1/2回転を周期に増速と減速をくり返す。誤った位相では不等速が増幅される。シングルの作動角はシリーズにより15〜30°）。2026年11月1日閲覧。 ↩ ↩

7. Danaの同資料 p.38〜39（折れ角の差は、トルクの大きい駆動や高速の駆動で1〜1.5°まで、低速なら3〜5°。2つの面で折れ、Z形とW形を組み合わせるときの内側のヨークのずらし）。 ↩ ↩

8. Danaの同資料 p.39〜40（シリーズごとの最大の折れ角5〜44°、回転数と折れ角の積で中間部の角加速度が決まること、回転数ごとの折れ角の限界のグラフ）。 ↩

9. Belden「Connecting Multiple U-Joints」（1組は45°まで、それを超える角度はある程度の回転数での使用を勧めない）。2026年11月1日閲覧。 ↩

10. Belden「Plain Bearing vs. Needle Bearing U-Joints」（1,000rpmを超える頻繁な運転や連続運転は、ころ軸受か針状ころ軸受の継手）。2026年11月1日閲覧。 ↩