スチュワートプラットフォームでワークを傾ける。脚のストロークと傾斜の限界

台に載せたワークの姿勢を、6自由度で変えて位置決めしたいときは、スチュワートプラットフォームが候補になります。例として、台の上のワークを12度傾ける場面を考えます。先に決めておきたいのは、機構の寸法よりワーク側の条件です。ワークの重心や基準にしたい点が台からどの高さにあり、そこを中心に傾けたいのか。台をどの高さで使い、どの向きに何度傾けるのか。ここが決まらないと、脚のストロークも継手の振れ角も決められません。

6本の脚をそれぞれ何mmにすればよいかは、脚1本につき式1本で出ます。脚の長さは、両端の継手を結ぶベクトルの長さにすぎないからです。ただ、その長さがストロークに収まるとは限りません。下のモデルは脚のストロークが80mmで、中立の高さなら台を約25度まで傾けられます。ところが、台を30mm上昇させると、前を下げる向きには7.4度で脚がストロークエンドに達します。次の3Dでは、台の位置と傾きに合わせて、6本の脚が別々に伸縮するところを見てください。

寸法は編集部で決めたものです。継手はベースに2つずつ3組、台にも3組あり、ベースでは半径160mm、台では半径100mmの円の上に並びます。ベースの組と台の組は60度ずれていて、ベースで隣り合う2本の脚は、台では別々の組へ向かいます。そのため、脚はジグザグに組まれます。脚の長さは継手の中心どうしで230〜310mm、中立では270.0mmで、ストロークのほぼ中央にあたります。

脚は、ベースの継手から伸びるシリンダと、台の継手からシリンダの中へ入るロッドの2部品にしました。継手は球で表した模式で、市販の自在継手や球面継手の形は写していません。干渉は、動画の30コマと、ストロークエンドまで動かした12の姿勢で、部品どうしの干渉体積をブーリアン演算で計算して確認しました。どれも0です。継手でつながる組だけは、継手の中心から半径12.5mmの球を除いて数えています。

脚の長さは、引き算1回で決まる

台の姿勢は、位置を表す3つの数と、3軸まわりの回転を表す3つの数で決まります。このモデルではXを前後、Yを左右、Zを上下とし、X軸まわりの回転をロール、Y軸まわりをピッチ、Z軸まわりをヨーと呼びます。脚iの長さL_iは、次の式で出せます¹。

L_i = | T + R p_i − b_i |

T    台の基準点（台の継手が並ぶ面の中心）の位置。原点はベースの継手が並ぶ面の中心。中立で (0, 0, 250)
R    台の回転。R = Rz(ヨー) Ry(ピッチ) Rx(ロール)
p_i  台から見た継手の位置。半径100mm、方位 60 + 120k ± 10°
b_i  ベースの継手の位置。半径160mm、方位 120k ± 12°（k = 0, 1, 2）
方位  上から見て前（＋X）を0°とし、左回りに測る
脚    脚1・3・5は b が 120k − 12°、p が 120k − 50°。脚2・4・6は b が 120k + 12°、p が 120k + 50°

台に付いた継手をRで回転させ、Tだけ移動してから、ベースの継手の位置を引く。式がしていることは、これだけです。どの脚も、ほかの脚の長さに左右されません。つまり、6本を別々に計算できます。

8つの姿勢で、6本の脚の長さを計算しました。回転の中心は台の基準点です。ロールは左（＋Y）が上がる向きを＋、ピッチは前（＋X）が下がる向きを＋、ヨーは上から見て左回りを＋としました。Rは、ロール、ピッチ、ヨーの順に、ベースに固定したX、Y、Z軸のまわりで回す組み方です。1つの軸だけを回す表の値は順に左右されませんが、ロールとピッチを12度ずつ同時に入れると、順を入れ替えただけで脚の長さが最大2.2mm変わります。

姿勢（mm）    脚1    脚2    脚3    脚4    脚5    脚6
中立         270.0  270.0  270.0  270.0  270.0  270.0
上へ30mm     298.0  298.0  298.0  298.0  298.0  298.0
前へ40mm     259.0  259.0  284.9  274.2  274.2  284.9
左へ40mm     266.5  279.2  264.2  257.6  287.4  281.3
ロール12°    255.0  284.5  288.6  273.5  266.8  252.5
ピッチ12°    258.1  258.1  263.2  289.1  289.1  263.2
ピッチ−12°   282.9  282.9  276.3  251.2  251.2  276.3
ヨー20°      260.1  284.9  260.1  284.9  260.1  284.9

台を上へ30mm移動すると、6本がそろって28.0mm伸びます。脚は鉛直から22.18度傾いて立っているので、伸び量は移動量より少し小さくなります。ヨーでは1本おきに伸縮し、ロールとピッチでは、いちばん長い脚と短い脚に31.0〜36.1mmの差がつきます。中立から伸ばせる余裕は片側40mm。ワークをロールで12度傾けるだけで、脚3はその半分近い18.6mmを使います。

逆に、6本の長さから台の姿勢を求める順運動学は、こう簡単にはいきません。式が連立になり、もっとも一般的な形では解が最大40通りあるとされています¹。モデルでは、中立から始めたニュートン法で表の8つの長さを解き直し、どれも元の姿勢に戻りました。台を動かす指令は逆運動学で作れますが、脚の長さを測って台の姿勢を知りたいときには、この順運動学が必要です。

数えると6自由度、継手を球にすると12

6本の脚で6自由度になることは、部品と継手を数えれば分かります。空間の機構にはグリューブラーの式を使い、固定したベースも含めた部品の数をN、継手の数をJ、継手ごとの自由度をf_iとします²。日本ロボット学会誌の論文では、同じ形の式がクッツバッハの式の名前で紹介されています³。

自由度 = 6(N − 1 − J) + Σ f_i

N  = ベース 1 + 台 1 + 脚 6本 × 2部品 = 14
J  = 自在継手 6 + 直動 6 + 球面継手 6 = 18
Σf = 6 × 2 + 6 × 1 + 6 × 3 = 36
自由度 = 6 × (14 − 1 − 18) + 36 = 6

自在継手の自由度は2、シリンダとロッドが摺動する直動は1、球面継手は3²。モーターを入れるのは直動の6か所なので、駆動の数と自由度がちょうどそろいます。

では、ベースの継手も球面継手にしたらどうなるでしょう。式の答えは12に増えます。増えた6は、脚がそれぞれ自分の軸まわりに回転する動きで、台の動きには表れません²。台とベースの相対運動に影響しないこうした自由度を、Passive DOFと呼びます³。3Dでは両端の継手を同じ球で描いていますが、数えるときはベース側を自在継手とみています。脚が軸対称なので、脚が自分の軸まわりに回転しても見た目は変わりません。

同じパラレルメカニズムでも、3本の腕で台を動かすデルタロボット（パラレルリンクロボット）に同じ式を当てはめると、答えは15です⁴。ところが、台に表れるのは前後、左右、上下の3つだけ。腕の先端側にある平行四辺形が台を固定側と常に平行に保つためで、残りの12は、平行四辺形を作る棒が、それぞれ自分の軸まわりにねじれる動きです。ワークを傾けたいならスチュワートプラットフォーム、傾けずに高速で搬送したいならデルタロボット、という選び方になるでしょう。

中立から離れるほど、ワークを傾けられる角度は減る

中立の姿勢から1つの向きにだけ動かし、どれかの脚が230mmか310mmに届くところを探しました。

動き	＋の向き	−の向き
上下	42.8mm	43.8mm
前後	90.2mm	85.9mm
左右	81.6mm	81.6mm
ロール	25.7°	25.7°
ピッチ	25.5°	26.9°
ヨー	48.4°	48.4°

上下には43mmほどしか動かないのに、前後には90mm近く動きます。横の可動範囲は、脚のストロークの80mmより大きくなります。脚が鉛直に近い向きで立っているので、台を横へ動かしても、脚は長さより向きを大きく変えて追従するのです。そのかわり、横からの力には弱くなります。中立の姿勢で台の基準点を真上から1N押すと、脚1本にかかる力は0.18Nですが、前後に1N押すと最大0.86N、左右なら0.90N。同じ1Nでも、横からだと脚1本の力は5倍ほどになります。ワークに横向きの力がかかる工程か、かかるならどれだけかは、客先に確認する項目です。

傾斜の限界は、台の高さで大きく変わります。次のグラフでは、横軸の0から離れるにつれて、3本の線がどれだけ下がるかを見てください。

中立から上へ30mmでは、ロールの限界が25.7度から7.7度へ、前を下げるピッチは25.5度から7.4度へ下がります。上下の移動で脚の余裕を使ってしまい、傾きに回せる伸び量が残らないからです。下へ30mmでも、ロールは8.6度しか残りません。

ピッチの2本の線は、山の位置が左右にずれています。前を下げる向きは13mm下げた位置で33.9度、前を上げる向きは6mm上げた位置で31.3度が最大。ロールの山も、中立より3.4mm下で27.8度でした。中立の高さが、どの向きにとっても最良とは限らないのです。台をどの高さで使うかは、ワークの受け渡し高さとも関わるので、傾ける向きと一緒に決めておく項目です。

ワークの重心を回転の中心にすると、限界はさらに下がる

ここまでの角度は、台の基準点を中心に回転させたときの値です。台に載せたワークを、その重心を中心に傾けたいなら、回転の中心はもっと上に来ます。たとえば、継手の面から150mm上を中心にすると、ロールの限界は25.7度から18.8度に、300mm上なら13.1度まで下がりました。台が傾くのと同時に横へ移動するぶん、脚の伸縮が余分に必要になるためです。

逆に、基準点を中心に回転させたままだと、ワークの側が横へずれます。基準点の真上、継手の面から高さhにあるワーク上の点は、台を角度θ傾けると、横へh sin θ、下へh (1 − cos θ)移動します。

h = 150 mm、θ = 12° のとき
横への移動量  150 × sin 12° = 31.2 mm
下への移動量  150 × (1 − cos 12°) = 3.3 mm

傾けたあともワーク上の同じ点を同じ位置に保ちたいなら、この横31.2mmと下3.3mmを台の並進で戻すことになります。その並進のぶんの脚の伸縮が、上の限界の低下として表れます。ワークの重心や基準にしたい点が継手の面から何mm上にあるかは、ワークの寸法と載せる治具の高さで決まるので、客先に確認しておく項目です。

継手の振れ角と、脚どうしのクリアランス

ストロークの次に制約になるのは、継手の振れ角でしょう。ロールを限界の25.7度まで傾けると、台の面に立てた法線と脚がなす角は48.8度に達します。前を下げるピッチの限界25.5度では50.1度です。継手を台に垂直に取り付けると、この50度ほどをまるごと受け持つことになります。中立で脚が向く方向に合わせて傾けて取り付ければ、振れ角は28.8度で済むはずです。ベースの継手は、同じ姿勢でも中立の向きから5.3度しか振れません。

前後や左右に大きく動かす使い方では、事情が変わります。前後90.2mmの端では、ベースの継手も中立の向きから19.5度振れました。継手の許容振れ角はカタログで確認し、取付の向きを決めることになります。ここでの角度はどれもこのモデルの寸法から出した目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

脚どうしの間でいちばん狭いのは、台の継手のまわりです。台で同じ組につながる2本は、継手の中心どうしが34.7mmしか離れていません。直径22mmの球どうしでは、クリアランスが12.7mm。台と一緒に動くので、どの姿勢でも変わらない値です。継手から離れたところでは、別々の脚のロッドやシリンダどうしが、1つの向きにストロークエンドまで動かした12の姿勢のどれでも28.5mm以上離れていました⁵。いちばん狭いのは、ヨー48.4度のときの、台で組になる2本のロッドどうしです。つまり、このモデルでヨーを制限しているのは脚どうしの接触ではなく、ストロークエンドです。市販の継手を選ぶときは、まずその外形が、台で組になる2つの間隔に収まるかを確認することになるでしょう。

姿勢ごとに部品の組の最短距離を確認する機能は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成するアプリです。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、台を傾けていく途中の各時点で、脚どうしや継手どうしのクリアランスを確認できます。

動画の16秒で、脚はこう動く

動画は、上下、前後、左右、ロール、ピッチ、ヨーの順に2秒ずつ動かし、最後の4秒で10度の傾きの向きを2周回す流れです。そのあいだに6本の脚がどう伸縮したかを、グラフにしました。上下では6本が1本の線に重なり、ヨーでは2本に分かれるところを見てください。

最後の4秒では、6本が順番に伸びては縮み、伸縮の山が台のまわりを2周します。傾きは10度のままでも、向きによって脚の長さは253.9〜286.5mmまで変化しました。同じ角度でも、どの向きに傾けるかで使うストロークが変わるわけです。

脚のストロークを決める前に決めておきたいのは、台をどの高さで使い、ワークのどこを中心に傾けるかです。この2つは機構の寸法からは決まらず、ワークと工程で決まります。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。条件が決まれば、必要な脚の長さは、冒頭の12度の例と同じく、式1本で出せます。

2026年11月9日 更新：台に載せたワークの位置決めと、脚どうしのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. Kevin M. Lynch、Frank C. Park「Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control」Cambridge University Press、2017年。著者が公開しているプレプリント版（2017年5月3日付）の p.249〜250（逆運動学の式）、p.262（順運動学の解は最大40通り）。ページ番号は、PDFの通し番号ではなく各ページに印刷された番号です。同書は台の位置をp、ベースの継手をa_i、台の継手をb_iと書いていて、本文のb_i（ベースの継手）とは文字の役が逆です。2026年10月31日に確認。 ↩ ↩

2. 同書 p.17（表2.1 継手の自由度）、p.18（グリューブラーの式。拘束が独立でないときは下限を与える）、p.22〜23（例2.8 スチュワート・ゴフ・プラットフォームの自由度は6、自在継手を球面継手に替えると12）。 ↩ ↩ ↩

3. 有川敬輔「数式処理によるロボット機構の自由度解析」日本ロボット学会誌 27巻8号 pp.900〜909（2009年） p.900（クッツバッハの式）、p.901（Passive DOFの説明）。2026年10月31日に確認。 ↩ ↩

4. Lynch、Parkの同書 p.22（例2.7 デルタロボットの自由度は15、台に表れるのは3）、p.245（固定側に駆動を置くので動く部分が軽く、速く動かせる）。 ↩

5. 脚を太さが一定の円柱に置き換えた近似です。シリンダはベースの継手から20〜196mmの範囲を先端のつばの半径15.5mmで、ロッドは台の継手から24〜180mmの範囲を根元の太い部分の半径9mmで表し、中心の線分どうしのいちばん近い距離から2本の半径を引きました。実物のシリンダの胴は半径14mm、ロッドは半径8mmと細く、円柱の端も丸めて扱うので、値は実物より狭めに出ます。台の継手から24mmまでは、本文の球どうしのクリアランスで見ています。部品どうしが重ならないことは、ブーリアン演算の体積で別に確認しました。 ↩