テオ・ヤンセン機構の寸法と足先の軌跡。平らな区間のぶれは0.32mm

脚の先は、まず地面と平行に動き、しばらくしてから少し持ち上がる。風を受けて砂浜を歩く作品「ストランドビースト」を作るテオ・ヤンセンは、脚に必要な動きをそう考えたと、インタビューで話しています¹。

テオ・ヤンセン機構は、その動きをクランク1本の回転で作ります。公開されている13の数で脚を組んで計算すると、クランクが120°回転するあいだに足先は46.3mm進み、上下のぶれは0.32mmでした。そのあいだにクランクピンは上下に26mm動いているのに、足先はほぼ水平な線を描くのです。装置の設計でも、クランク1本の回転からリンクの軌跡を取り出す場面では、この記事で見る軌跡の平らさの測り方と、寸法のずれに弱い四節の見つけ方が参考になります。

13の数は、脚のリンクの長さの比です。ヤンセンはこの動きをリンクでなぞろうと、ATARIのコンピューターの画面で動きを試し、13の数にたどり着いたといいます¹。公式サイトも、1991年に考えた脚の仕組みを「thirteen holy numbers（13の聖なる数）」に基づくものと紹介しています²。数がウェブで簡単に見つかることを、ヤンセンはビーストの「繁殖」になぞらえ、自分でビーストを作る人が増えてほしいと話しています¹。

下のモデルは、13の数をそのままmmにして組みました。クランク半径は15mm。作品の形は写さず、平らな板とピンで組んだ模式ですが、ピンの間隔は13の数どおりです。脚は3本で、クランクの位相を120°ずつずらしました。手前のオレンジが脚1で、脚2と脚3を表示から外すと、1本の動きを追いやすくなります。次の3Dでは、足先が下で水平に進み、上で持ち上がって戻るところを見てください。

板は厚さ3mm、リンクは幅6mm、ピンはΦ3です。jとkは回転の途中でクランク軸と重なる位置を通過するので、2枚の腕ではさんだクランクピンに掛け、主軸はその層に通していません³。干渉は、15°ごとのコマで干渉体積をブーリアン演算で計算して確認しました。どのコマも0です。

動作中の各時点で部品の組ごとのクリアランスを確認する機能は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成するアプリです。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、クランクが回転していく途中の各時点でクリアランスを確認できます。

11本の棒で、駆動する軸は1本

脚1本は、クランクを含めて11本の棒でできています。b、d、eの3本と、g、h、iの3本は、それぞれ三角形の板として一体で動きます。aとlは棒ではありません。クランク軸Oから見て、固定ピンGがどこにあるかを決める数です。

次の図では、クランクmの回転が、jとkの2本に分かれて伝わるところを見てください。

jは上の三角形をGのまわりに揺動させ、kはcと組んで下の三角形を動かします。足先は下の三角形の頂点。どの点も、2つの円が交わる点として順に決まります⁴。

J1   = クランクの先（Oから m = 15）
J2   = J1から j、Gから b の円の交点（上側）
J3   = J2から e、Gから d の円の交点（左側）
J4   = J1から k、Gから c の円の交点（下側）
J5   = J3から f、J4から g の円の交点（左側）
足先 = J4から i、J5から h の円の交点（下側）

交点はいつも2つずつあります。かっこの中の向きを1つでも逆に取ると、長さは同じでも別の形の脚になります。

では、脚を動かすのに軸はいくつ必要でしょうか。動く部品はクランク、j、k、c、f、2つの三角形の7つ。固定のフレームを入れて節は8です。ピンは7か所ですが、G、J1、J4には3つの節が集まるので、そこは対偶を2つずつと数え、対偶は10になります。平面の機構の自由度を出すグリューブラーの式に入れると、答えは1です⁴。

自由度 = 3 × (節の数 − 1) − 2 × 対偶の数
       = 3 × (8 − 1) − 2 × 10 = 1

つまり、クランクの角度を1つ決めれば、足先まで全部の点の位置が決まります。モーター1つで脚を動かせるのは、このためです。

120°のあいだ、上下は0.32mm

足先がいちばん低くなるのは、クランク角が−30.7°のときで、クランク軸から91.83mm下です。クランク角は、クランクが図の右へ水平に向いたときを0°とし、図の上で反時計回りを正にとりました。Gの方向は191.6°にあたります。

軌跡の下の平らな部分は、どこまでを平らとみるかで長さが変わります。最下点から0.5mm以内に収まるのはクランク131.8°ぶんで、足先は50.2mm進みます。1mm以内まで許容すれば155.1°ぶん、57.4mm。

3本の脚で受け渡すなら、1本が受け持つのはクランク120°ぶんです。高さのぶれがいちばん小さくなる120°を探すと、−57.7°から62.3°までの区間で、ぶれは0.32mm、足先が進む長さは46.3mmでした。次のグラフは縦軸を1mmまで拡大したもので、線の底に谷が2つあるところを見てください。

底は真っ平らではなく、−30.7°と34.2°に谷があり、あいだの2.4°で0.08mmだけ盛り上がっています。とはいえ、0.32mmは進む長さ46.3mmの0.7%ほど。目で見て分かる上下ではありません。

13の数は比なので、大きさを変えても動きの形は変わりません。寸法を10倍にすれば、接地区間は463mm、ぶれは3.2mm、足を持ち上げる高さは22.5mmから225mmへと、どの長さも同じ倍率で伸びます。

3本ずらすと、どれかの足がいつも低い

位相を120°ずつずらした3本について、足先の高さを1枚に重ねました。次のグラフでは、縦軸の0の近くに、どの角度でも3本のうちどれかがいることを見てください。

胴体は、いちばん低い足に乗っていると考えます。その足が替わるのは、クランク角が−57.7°、62.3°、−177.7°のとき。受け渡す瞬間には2本の足先が同じ高さに並ぶので、胴体の上下は0.32mmに収まります。

脚を増やしたり減らしたりすると、どうなるでしょう。位相を等間隔にずらして計算しました。

脚の本数	胴体の上下	速度の最大÷最小
2本（180°おき）	1.74mm	2.62
3本（120°おき）	0.32mm	1.45
4本（90°おき）	0.08mm	1.29

4本にすると上下のぶれは4分の1になりますが、2本では一気に1.74mmまで増えます。1本が受け持つ角度が180°に広がり、谷の外の、足が上がり始めたところまで使うからです。右の列は、次の節で読みます。

ただ、この計算は平らで硬い地面と、1列に並んだ脚だけを考えたもの。1列では横に倒れてしまうので、歩く機械として立たせるには、左右にも脚の列が必要です。

動画では、3本の足先が順に下りてきて、地面すれすれを進むところを斜めから見られます。

胴体の速度は、受け渡しのたびに段がつく

平らなだけでは、歩きはなめらかになりません。クランクを毎秒1回転（60rpm）で回転させたとして、足先が水平に動く速度も計算しました。フレームから見て足が後ろへ動く速度が、そのまま胴体の進む速度です。次のグラフでは、オレンジの線が受け渡しのたびに段になるところを見てください。

接地しているあいだの速度は106〜154mm/sで、1.45倍の幅があります。区間の後ろのほうで速くなり、受け渡しの直前には143mm/s。ところが次の足は、106mm/sから動き始めます。オレンジの線についた段は、この差です。

段の大きさは37mm/s。受け渡す瞬間に2本の足が同じ地面を踏んでいるなら、速度が違うぶん、どちらかの足は地面の上で滑るはずです。

平均すると、胴体はクランク1回転で138.8mm進みます。クランクピンが1周で描く円周94.2mmの1.47倍です。一方で戻る足は、最大297mm/sと接地中の2倍ほどの速度で前へ振り出されます。

1mmの誤差に弱い寸法

13の数を1つずつ1mm増やしたり減らしたりして、120°区間のぶれを計算し直しました。いちばん影響が大きかったのはdで、どちらの向きにずれても0.99mmと、もとの3倍になります。l、f、eも、向きによっては0.8mmを超えました。

ぶれより大きく変わるのは、足を持ち上げる高さです。aかcを1mm短く、あるいはkかmを1mm長くすると、22.5mmだった高さが52〜65mmに跳ね上がり、向きを問わない足先の速度の最大も、今の3.5〜5.5倍になります。4つとも、次の四節リンクをつくる寸法です。

クランクm、k、cに、OとGを結ぶ線を加えた4本は、それだけで1つの四節リンクです。てこクランク機構と同じグラスホフの条件で比べると、余裕がほとんどありません。

OG = √(a² + l²) = √(38² + 7.8²) = 38.79 mm
最短 + 最長 = m + k  = 15 + 61.9    = 76.9 mm
残りの和   = c + OG = 39.3 + 38.79 = 78.09 mm
差 = 1.19 mm

差が0になると、クランクがGのほうを向く191.6°で4本が一直線に重なり、J4がどちらへ曲がるか決まらない思案点ができます。今の寸法でも、この角度でkとcがなす角（伝達角）は8.6°しかありません。てこクランク機構の記事で見た下限の目安、30〜40°を大きく下回る値です⁵。aかcが1mm短い、あるいはkかmが1mm長いだけで、差は0.19〜0.21mmまで減り、1.2mmずれると差が0を割って、クランクは1回転できなくなります。jとbの側は差が15.3mm、fとgの組も4.1mmの余裕があるので、いちばん弱いのは下の四節です。

さいわい、この角度で足先は軌跡のいちばん上、22.5mmの高さにあり、地面から荷重を受けていません。伝達角がここまで小さくても13の数のままで歩けるのは、このためでしょう。ただ、寸法のずれへの余裕はほとんどありません。1mmで足を持ち上げる高さが2倍を超え、1.2mmで組めなくなります。穴の位置のずれとピンのガタが重なれば、脚が裏返った組み方へ移ってしまうかもしれません。板から切り出して作るなら、a、c、k、mの4つは、差が減る向き（aとcは短く、kとmは長く）にずれないよう公差を決めておくことになります。

13の数は、足先の軌跡を見て選ばれた数です。2026年6月にarXivで公開されたプレプリントは、これにピンの摩耗という物差しを加え、長さを最大29%動かした設計を計算で探しました⁶。論文が決めた評価の式では、代表の設計で接地の平らさが28%、速さのむらが58%よくなり、摩耗の見積もりも約56%小さくなるといいます。代わりに足を持ち上げる高さは15%下がり、摩耗はクリアランスのない理想のピンで比べた相対の値です。それでも、このモデルで出た1.45倍の速度のむらには、まだ詰める余地がありそうです。

装置でリンクの軌跡を使う場合も、軌跡の平らさだけでなく、a、c、k、mでつくる下の四節のように1mmのずれで軌跡が大きく変わる寸法がないかを先に調べ、公差を決めておくことになります。

2026年11月9日 更新：装置の設計とのつながりを書き出しと結びに加え、業界の用語で表現を書き直しました。

注

1. 大人の科学マガジン Vol.30「Special Interview」英語版（学研、2011年1月14日発売の号の4〜9ページ。2026年10月31日に確認）。脚の動きの考え方とATARIのコンピューターで13の数を決めたことは7ページ、数がウェブで見つかることへの思いは9ページにあります。 ↩ ↩ ↩

2. Strandbeest「Explains」の「The Legsystem」の紹介文（2026年10月31日に確認）。 ↩

3. jとkの中心線は、回転の途中でクランク軸の中心から0.01mm以内を通ります。固定ピンGの軸は3本の脚を貫いていて、kの中心線はこの軸の中心から最も近いところで5.91mm。リンクの幅を6mmにしたのは、このクリアランスに合わせたためです。 ↩

4. Jichao Wang「Durability-Aware Multi-Objective Optimization of the Jansen Linkage: Trading Gait Quality Against Joint Wear」（arXiv、2026年6月20日公開、8月8日改訂の第2版。2026年10月31日に確認）の表1、式（1）〜（3）、自由度の計算。モデルの長さは表1の13の値をそのまま使いました。要旨と序論は「eleven」（11の数）と書いていますが、どの2つを数えないかは書いていません。数の出典には、ヤンセンの著書『The Great Pretender』（2007年）を挙げています。 ↩ ↩

5. 目安はてこクランク機構の記事の注2の資料によります。そのうちJody Muelaner「Optimizing Mechanisms Using CAD Sketch Constraints Part 1」（2019年6月13日）は、30°を下回る伝達角は避けるのが目安としています（2026年10月31日に確認）。 ↩

6. 注4と同じプレプリントの要旨、第6節と表4・表5によります。学術誌に載ったという記載はなく、査読前の原稿として扱いました。結果はすべて計算で、論文も実験をしていないことを限界に挙げています。接地は「足の高さの下から15%の帯にいるあいだ」と定めていて、この記事の120°区間とは測り方が違います。 ↩