てこクランク機構はグラスホフの定理で確認する。揺動角と伝達角

例として、てこの先端に押し子を付け、揺動でワークを押す用途を考えます。リンクの寸法で決まるのは、てこの先端が動く範囲と、その途中で連接棒の力がてこにどれだけ伝わるかです。ワークの寸法、質量、押す力、載置位置のばらつきは、この記事では決めていません。どれもストロークと伝達角の余裕に関わるので、客先に確認する項目です。

その前に、4本の長さでクランクが1回転するかを確認します。四節リンクの図を描いたとき、短いリンクが本当に1回転するかどうかは、動かさなくても分かります。いちばん短いリンクといちばん長いリンクの和が、残り2本の和以下であること。グラスホフの定理の条件はこれだけです¹。4本のうち最短をs、最長をl、残りをpとqと書けば、s＋l≦p＋qという1本の不等式になります。

条件が一番厳しくなるのは、最短と最長を組にしたときです。このモデルはクランク30mm、連接棒90mm、てこ70mm、固定リンク100mmなので、30＋100＝130、90＋70＝160で、前者のほうが小さくなります。

条件を満たすので、最短のリンクの隣を固定すると、最短のリンクは1回転するクランクに、その向かいのリンクは揺動するてこになります¹。このモデルで固定したのは100mmのリンクです。

モーターの回転を往復の揺動に変えたい場面で使われ、自動車のワイパーが身近な例です。下の3Dでは、ベースの2つの軸を結ぶ線が固定した100mmのリンクにあたります。クランクが1回転するあいだに、オレンジのてこが51.8度の範囲を往復する様子を見てください。

固定するリンクを替えると、両クランクにも両てこにもなる

同じ4本でも、どれを固定するかで機構の名前が変わります。s＋l≦p＋qを満たす4本なら、固定するリンクと機構の対応は3通りです¹。

固定するリンク	機構	このモデル
最短の隣	てこクランク	100mmか90mm
最短	両クランク	30mm
最短の向かい	両てこ	70mm

30mmを固定すれば、90mmと100mmのリンクがどちらも1回転する両クランク機構。ただ、片方を等速で回転させても、もう片方は速くなったり遅くなったりします¹。70mmを固定した両てこ機構では、固定リンクにつながる2本は揺動するだけ。それでも、向かいの30mmのリンクは、隣の2本から見れば1回転しています。

s＋l＞p＋qになると、どれを固定しても、どの2本のあいだでも1回転は起きません²。動く3本がどれも揺動するだけの機構で、英語ではtriple rocker（3本とも揺動する機構）と呼ばれる形です。このモデルでも、クランクを61mmにすれば61＋100＝161が160を超え、クランクは1回転できなくなる計算です。

足し算で分かるのは、三角形が閉じるかどうかだから

クランクをa、連接棒をb、てこをc、固定リンクをdとすると、クランクが回転するあいだ、クランクの先のピンと、てこの軸との距離rは伸び縮みします。クランクが固定リンクに重なれば100−30＝70mm、反対へ伸びきれば100＋30＝130mm。連接棒とてこは、このどのrとも三角形を作れなければなりません。

三角形が閉じる条件  |b − c| ≦ r ≦ b + c
r の最大  d + a = 130 ≦ b + c = 160  （余り30mm）
r の最小  d − a = 70  ≧ |b − c| = 20  （余り50mm）

どちらかが破れると、クランクはその位置の手前で止まって引き返します。2つの式を並べ替えれば、a＋d≦b＋c、a＋b≦c＋d、a＋c≦b＋dの3本。aが最短なら、このうち最長のリンクとaを組んだ1本以外は、いつでも成り立つのです。残る1本がs＋l≦p＋qで、このモデルでは最長が固定リンクなので、1本目にあたります。

揺動角は2つの一直線で決まる

てこが端まで振れるのは、クランクと連接棒が一直線に並ぶ2つの位置です。一直線に伸びればクランクの軸からてこの先端までは120mm、折れ重なれば60mmになるので、余弦定理でてこの角度が出ます。

cos γ = (c² + d² − (b ± a)²) ÷ (2 c d)
伸びる  (4900 + 10000 − 14400) ÷ 14000 = 0.0357 → 87.95°
折れる  (4900 + 10000 − 3600) ÷ 14000 = 0.8071 → 36.18°
揺動角 = 87.95° − 36.18° = 51.77°

押し子をてこ先端のピンの位置に付けるとすると、ワークから見たストロークは、半径70mmの円弧の両端を結ぶ弦の長さです。

弦の長さ = 2 × 70 × sin(51.77° ÷ 2) = 61.1 mm
円弧の長さ = 70 × 51.77° × π ÷ 180 = 63.2 mm

押し子は直線ではなく円弧を描くので、ワークに接触する点は揺動の途中で、押す向きと直角の向きにも動きます。押し子とワーク、ガイドのクリアランスは、両端の2つの姿勢だけでなく、途中の姿勢でも確認します。

グラフでは、2本の点線のところで線が折り返しています。山と谷の間隔が左右で違うところも見てください。

山から谷までは、クランク角で187.9度。谷から山へ戻るのは172.1度です。等速で回転させると、行きと帰りの時間は1.09倍違うことになります。この比が早戻り比です。

切削の戻りを速くしたい機械なら、この比を大きくします。ほかの3本をそのままにして固定リンクを90mmに縮めると1.19、80mmなら1.31。ただし、次の節で見る最小の伝達角は、50.0度から41.8度、33.6度へと下がります。

揺動を大きくすると、力が伝わりにくくなる

揺動角を増やしたければクランクを長くすれば足りますが、代わりに連接棒とてこのなす角（伝達角）が小さくなります。この角が90度に近いほど、連接棒の力はてこを回転させる向きに作用します。小さくなると、軸を押すだけの力が増える一方です。押し子でワークを押す用途なら、この軸を押す力は軸受の荷重になります。

伝達角は、クランクが固定リンクに重なって、てこの軸へ最も近づくときに最小になります³。ピンとてこの軸の距離は、固定リンクからクランクを引いた70mmになります。

cos μ = (b² + c² − r²) ÷ (2 b c)
r = 70  (8100 + 4900 − 4900) ÷ 12600 = 0.6429 → 50.0°

次のグラフでは、伝達角がクランク角0度で谷になるところを見てください。

では、クランクの長さだけを変えるとどうなるか。ほかの3本をモデルの寸法のままにして計算しました。

クランク	揺動角	最小の伝達角
20mm	34.0度	58.4度
30mm（モデル）	51.8度	50.0度
40mm	70.6度	41.8度
50mm	91.4度	33.6度
60mm	122.9度	25.2度※

伝達角の下限の目安は資料によって幅があり、30度とも40度ともされています³。表で見ると、40mmで40度の目安に近づき、50mmでは30度の目安に近づきます。たとえば揺動角が60度必要なら、クランクは34.5mm前後で、このとき最小の伝達角は46度ほど。まだ余裕のある寸法です。

揺動角だけで寸法を決めると、右の列を見落としがちです。

表の60mmは、最短と最長の和が残り2本の和とちょうど等しい長さです。これより1mmでも長くすると条件を満たせず、クランクは1回転できなくなります。ただ、60mmでも安心はできません。クランク角180度で4本のリンクが一直線に並び、どちらへ動くかが決まらない思案点ができます¹。

※を付けた表の25.2度は、クランク角0度の側だけを見た値です。180度の側では伝達角が180度まで開き、連接棒の力はてこを回転させる向きにまったく作用しません。

動力の向きを逆にすると、死点が現れる

足踏みミシンのように、てこの側から回すなら話が変わります。クランクと連接棒が一直線に並ぶ2つの位置（このモデルならクランク角35.66度と223.53度）では、てこをいくら押してもクランクは回転しません。この位置が死点です¹。フライホイールの慣性で通過するのが定番の解決策で、クランク・スライダ機構のエンジンと同じ考え方です。

モーターでクランクを回す使い方なら、この問題は起きません。

次の動画では、てこが両端で折り返す2つの位置で、クランクと連接棒が一直線に並ぶところを見てください。

4本の長さを決めたら、まず足し算を1回、次に余弦定理を3回。CADを開く前に、電卓で済む確認です。そのあとで、押し子やワーク、周りの部品とのクリアランスを、動作の途中の姿勢まで含めて確認します。装置設計の支援アプリ MEKARIQ でも、この確認ができます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、動作中のクリアランスを確認できます。ワークの載置位置のばらつきのように AI が決めきれない条件は、客先への確認事項として一覧にします。

2026年11月7日 更新：グラスホフの定理を式で示し、固定するリンクで変わる3つの機構、条件を満たさないときの動き、足し算で分かる理由を足しました。

2026年11月9日 更新：てこの先端でワークを押す例を置き、先端のストロークと伝達角の見方を中心に、業界の用語で表現を書き直しました。

注

1. 東京理科大学の機構学の講義資料「リンク機構の種類と運動」（2026年10月30日に確認）。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. UC Davis Integration Engineering Laboratory「Non-Grashof Linkages」。s＋l＞p＋qの四節リンクでは、どの2本のあいだでも連続した回転はできないとしています（2026年11月7日に確認）。 ↩

3. Ken Youssefi「Mechanism synthesis, graphical」は最小の伝達角を40度より大きくとしています。Jody Muelaner「Optimizing Mechanisms Using CAD Sketch Constraints Part 1」（2019年6月13日）は30度を下回らないようにとしています（いずれも2026年10月30日に確認）。 ↩ ↩