波動歯車の仕組みと減速比、フレクスプラインが2歯ずつ遅れて1/50になる

例として、出力軸に取り付けたテーブルやアームで、ワークを回転させて位置決めする場面を考えます。減速機を選ぶ前に客先と決めておくのは、ワークを何度ずつ、どちら向きに回転させるかと、ワークと治具を合わせた負荷の大きさです。波動歯車装置なら、モーター1回転あたりの出力の角度と向きは、歯数と、どの部品を固定するかだけで決まります。

ウェーブ・ジェネレータを1回転させても、出力のフレクスプラインは7.2度しか回転しません。フレクスプラインの歯は100枚、外側のサーキュラ・スプラインは102枚。1回転ごとに、この歯数差の2枚ぶんだけ逆向きに遅れていくからです¹。減速比はフレクスプラインの歯数を歯数差で割った100÷2で、50になります。

波動歯車装置は、薄い外歯車をわざと楕円にたわませて、内歯車とかみ合わせる減速機です。「ハーモニックドライブ®」という名前でも知られていますが、これはハーモニック・ドライブ・システムズの登録商標です。同社のページにも「学術的及び一般名称は『波動歯車装置』」とあります¹。基本の部品は3つです。楕円に近いカムでできたウェーブ・ジェネレータ、薄いカップの開いた側に外歯を切ったフレクスプライン、そして内歯を切った剛体リングのサーキュラ・スプラインです。

下のモデルはモジュール0.5で作りました。サーキュラ・スプラインを固定し、ウェーブ・ジェネレータを手前から見て時計回りに回転させます。カムにある2つの穴を結ぶ線が、楕円の長軸です。オレンジの歯はフレクスプラインに5枚おきに付けた目印で、カムが2.5回転するあいだに、反時計回りにちょうど1つぶん、18度進みます。

速さを0.25倍に落とし、カムの穴に近い歯を見てください。長軸の端では歯が歯溝の奥まで入り、そこから90度離れたところでは歯が離れているはずです。

歯の形は台形の模式です。フレクスプラインは歯1枚とその下の薄い輪（リム）を1つの部品にして、100個を楕円に沿って動かしました。内歯車の歯溝は、この台形が出入りするときに通過する範囲を求め、0.02mmのクリアランスを足した形です。実物のウェーブ・ジェネレータはカムに薄い玉軸受をはめたもので¹、カップは底から離れるほど大きくたわみます²。けれどもモデルでは軸受を省き、変形させたのは歯の付いた輪だけ。カップの胴と底は剛体のまま、輪の内側に差し込みました。

干渉は、ブーリアン演算で干渉体積を計算して確認しました。カムを内歯車の歯1つぶん、3.53度回転させると、かみ合いは歯1つぶん回転しただけの同じ形に戻ります。そのあいだの6コマで、歯先が内歯車に届く446組を見て、どれも0。この確認方法で干渉を見落としていないかを見るために長軸の歯を半ピッチずらすと、こちらは2.71mm³の干渉量が出ました。

部品の組ごとに干渉を判定する機能は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成するアプリです。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かして、動作中の各時点のクリアランスを確認することもできます。

長軸と短軸の差は2.0mm

フレクスプラインは、もともと内歯車より少しだけ小さい歯車です。基準円の直径はモジュールと歯数の積なので、50mmと51mm。この1mmの差はカムで楕円に押し広げて埋めます。長軸の端で、フレクスプラインと内歯車の基準円がちょうど重なるようにすると、変形量は歯数とモジュールだけで決まります。

長軸での変形量（半径） w0 = m × (Zc − Zf) ÷ 2 = 0.5 × 2 ÷ 2 = 0.5 mm
基準円の長軸           50 + 2 × 0.5 = 51.0 mm（内歯車の基準円と同じ）
基準円の短軸           50 − 2 × 0.5 = 49.0 mm
長軸と短軸の差         4 × w0 = 2.0 mm

mはモジュール、ZfとZcはフレクスプラインとサーキュラ・スプラインの歯数です。

w0は基準円の半径を減速比で割った25÷50とも同じ値になります。ハーモニック・ドライブ・システムズの特許では、基準円ではなくリムの中立線の半径を減速比で割った値を、標準の撓み量と呼んでいます²。このモデルなら24.2÷50で0.484mmなので、0.5mmは標準より3%ほど大きくたわませています。同じ歯数差2でも、モジュール1なら長軸と短軸の差は4.0mm。直径100mmの歯車が、カムの1回転で2回押し広げられては戻ることになります。

同社の説明では、短軸の部分で歯は完全に離れます¹。歯の出入りは半径で2×w0の1.0mmなので、そのためには、フレクスプラインと内歯車の歯末のたけを足した高さを1.0mmより低くしておきます。モデルは両方を0.4mmにしたので、長軸では0.8mm入り込み、短軸では0.2mmのクリアランスが残ります。

次のグラフは、フレクスプラインの歯先が内歯車の歯先円をどれだけ越えているかを、長軸からの角度ごとに計算したものです。0の線より上に、山が2つあるところを見てください。

山の頂上は0度と180度、つまり長軸の2か所です。ただ、裾は両側63.4度まで広がっていて、数えてみると100枚中70枚の歯先が、内歯車の歯の間に入っています。

一方、ハーモニック・ドライブ・システムズによれば、同時にかみ合う歯数は「総歯数の約30%」です¹。70枚と約30%の開きは、歯先が入っていることと、歯面が接触して力を伝えていることが別だからでしょう。どこで接触するかは歯形で決まり、グループ会社であるHarmonic Drive LLC（米国）の英語版カタログには、独自のS歯形なら総歯数の最大30%が同時にかみ合う、とあります³。台形で模式化したモデルでは、この割合までは確認できません。

1回転で2歯ずつ遅れる

長軸のかみ合いは、カムといっしょに回転していきます。では、フレクスプラインの歯から見ると、どうなっているのでしょうか。モデルで、いちばん上の歯溝に入っているオレンジの歯を追いかけました。

内歯車の歯1つ   360 ÷ 102 = 3.529°
カム    0°     上の歯溝（0番）に入っている
カム 176.47°   もう一方の長軸の端が来て、となりの歯溝（−1番）に入る
カム 352.94°   2つとなりの歯溝（−2番）に入る
カム   360°    フレクスプラインは −7.2°（自分の歯2枚ぶん）

番号と角度のマイナスは、手前から見て反時計回りの向きです。

同社の説明は、カムが180度回るとフレクスプラインが「歯数1枚分だけ、反時計方向へ移動」する、というものです¹。モデルで次の歯溝に入るのは、180度より少し手前の176.47度でした。フレクスプライン自身が反対向きに回転しているぶん、長軸の端が早く追いつくのです。176.47は180×100÷102で、180度の時点ではフレクスプラインがちょうど自分の歯1枚ぶん、3.6度だけ戻っています。

減速比は、1回転で戻る角度から出ます。

カム1回転で戻る角度  360 × (Zc − Zf) ÷ Zf = 360 × 2 ÷ 100 = 7.2°
減速比               R = Zf ÷ (Zc − Zf) = 100 ÷ 2 = 50

Harmonic Drive LLCのカタログは、同じ関係を(Zf − Zc) ÷ Zfの形で書き、マイナスで出力の向きが逆になることを示します³。

動画では、カムが2.5回転するたびに、次のオレンジの歯が、内歯車の上にある切り欠きに並びます。

歯が歯溝に出入りする動きも、モデルから取り出せます。次の図は、歯の中心線が基準円と交わる点の軌跡を、長軸にある歯溝のまわりで描いたものです。背景は、カムの長軸が真上に来た瞬間。青い線が、歯溝の真ん中でほぼ垂直に立ち上がっているところを見てください。

長軸から30度手前の歯は、出入りの幅1.0mmのうち0.75mmまで進んでいるのに、横には0.063mmしかずれていません。一方、歯先が内歯車の歯先円を越える63.4度の時点では、横のずれはまだ0.37mmあります。横に大きく動くのは、歯がまだ浅いあいだです。

同社は、かみ合い部の滑りが「きわめて少ない」と説明しています¹。歯面どうしの滑りは歯形で決まるので、台形で模式化したモデルでは計算していませんが、深く入ってからは歯がほとんど横に動かない点は、この説明と食い違いません。

特許には、この動きをラックのかみ合いで近似した式があります²。歯数差2、標準の撓み量との比である偏位係数κを1として書くと次の形です。

x = 0.5 m (θ − sin θ)
y = m cos θ

θを長軸からの角度の2倍として重ねると、モデルの軌跡との差は最大0.018mmでした。リムが曲がるのにつれて、歯は半径の向きから最大2.3度傾きます。

減速比を下げるほど、リムは大きく曲がる

変形量w0は半径を減速比で割った値でした。同じ大きさのまま減速比を下げると、そのぶん大きくたわませることになります。どれくらい曲がるのかを、薄い輪の式でおおまかに見積もりました⁴。

長軸での曲率の変化  Δ(1/ρ) = 3 × w0 ÷ r²
リムの表面のひずみ  ε = t ÷ 2 × Δ(1/ρ) = 3 × 0.6 × 0.5 ÷ (2 × 24.2²) = 0.000768
曲げ応力            σ = E × ε = 206,000 × 0.000768 = 158 MPa

rはリムの中立線の半径、tはリムの厚さ、1/ρは曲率です。Eは鋼の縦弾性係数で、三木プーリの技術資料にある低炭素鋼の値を使いました⁵。

減速比	変形量w0	曲げ応力の目安
30	0.83mm	264MPa
50	0.50mm	158MPa
100	0.25mm	79MPa
160	0.16mm	49MPa

表は直径50mmもリムの厚さ0.6mmも変えずに、減速比だけを変えた計算です。1/30では1/50の1.67倍になります。

しかも、この曲げは何度も繰り返されます。リムのどの点も、長軸が通過するたびに外へ、短軸が通過するたびに内へ曲げられるので、カム1回転で約2往復。入力が3,000min⁻¹なら、1分間に約6,000回です。フレクスプラインは「疲労強度の高い特殊鋼」でつくられている、と同社は書いています¹。

同社のページでは、一段の減速比は1/30からです¹。下限の理由は書かれていませんが、減速比を1/30より下げにくいのは、上の表で見たたわみの大きさも理由の一つでしょう。ワークの回転を速くするために減速比を下げる場合も、このリムの曲げ応力が制約になると考えられます。

表の値には、歯の付け根に集まる応力も、トルクを伝えるときの応力も入っていません。変形だけから出した目安なので、強度の最終的な判断は、メーカーの資料と設計基準で行ってください。

固定する部品を替えると1/51になり、ワークの回転方向も変わる

ここまではサーキュラ・スプラインを固定した使い方です。フレクスプラインを固定してサーキュラ・スプラインから出力を取ると、減速比はZc ÷ (Zc − Zf)で102 ÷ 2の51になり、出力は入力と同じ向きに回転します³。

カム1回転あたりの出力は、内歯車を固定すれば逆向きに7.2度、フレクスプラインを固定すれば同じ向きに7.06度。向きが逆なので、取り違えるとカム1回転あたり7.2 + 7.06 = 14.26度ずれます。向きを符号で合わせても大きさの差0.14度が残り、100回転で14度と、ずれは回転させるほど積み上がります。ワークにとっては、この角度の差Δθが、回転中心から半径rの位置でr × Δθ（Δθはラジアン）の位置ずれになり、ワークを載せる位置が回転中心から遠いほど大きくなります。モーターの回転方向やエンコーダの符号を決める前に、どの部品をケースに固定するかを図面に書き込んでおくと、この取り違えを防げます。

ワークを載せる半径や、ワークと治具を合わせた慣性の大きさは、ワークの図面と客先仕様で決まり、減速機の寸法からは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

2026年11月9日 更新：ワークを回転させる出力軸の角度と向き、歯のクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。 2026年11月9日 訂正：固定する部品を取り違えたときの出力のずれを、回転の向きが逆になる分を含めて1回転あたり14.26度と書き足しました。

注

1. ハーモニック・ドライブ・システムズ「ハーモニックドライブ®を知る」（2026年10月31日に確認）。部品と作動原理の説明、特長の欄（減速比、同時かみあい歯数、滑り、材料）、登録商標についての断り書きによります。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. 特許第5456941号「3次元接触歯形を有する波動歯車装置」（ハーモニック・ドライブ・システムズ、2014年4月2日発行、Google Patentsで2026年10月31日に確認）。標準の撓み量と偏位係数κの定義、ラック近似の式、コーニング（底から離れるほど撓み量が増える動き）についての記述によります。特許の式は歯数差を2nとして書かれていて、ここではn＝1として読みました。特許はθを波動発生器の回転角と書いていますが、フレクスプラインの歯はカムに対して1回転するあいだに2度かみ合うので、本文では長軸からの角度の2倍として重ねました。 ↩ ↩ ↩

3. Harmonic Drive LLC「Reducer Catalog Component Sets CSD Engineering Data」（CSD_Component Catalog 082026、2026年10月31日に確認）。PDFの25ページ（S歯形と同時かみ合い）、26〜27ページ（固定する要素ごとの回転方向と、減速比の式と例）。 ↩ ↩ ↩

4. 伸び縮みしない薄い輪を、半径方向にw0 cos 2θだけ変形させたときの曲率の変化から、編集部で計算しました。曲率の変化は(w + d²w/dθ²) ÷ r²で、w = w0 cos 2θを入れると、長軸での大きさが3 × w0 ÷ r²になります。輪を細い梁とみなした式で、歯やカップの形による影響は入っていません。 ↩

5. 三木プーリ「金属材料の物理的･機械的性質」（2026年10月31日に確認）。低炭素鋼の縦弾性係数206×10³N/mm²を使いました。 ↩