ポーセリエ機構はなぜ厳密な直線を描くのか、リンク7本で反転を計算する

例として、リンクの先端にワークを把持するハンドを付け、直動ガイドを使わずにワークを縦に±80mm直線で搬送する場面を考えます。機構を選ぶ前に決めるのは、ワーク側の条件です。必要なストロークはいくつか、搬送の経路が直線からどれだけずれてよいか、ハンドとワークを取り付けるスペースがどれだけ必要か。経路のずれは、リンクの長さの差とピンのガタで決まります。ワークにとって許容できる経路のずれは図面だけでは決まらないので、客先に確認する項目です。

直動ガイドもスライダもなしに、ピンで連結したリンクだけで、点を本当に直線で動かせるでしょうか。ポーセリエ機構なら動かせます。腕150mmが2本、菱形の辺60mmが4本、クランク50mmが1本です。この7本のモデルを解くと、ペンを付けた点は固定点から189mm離れた縦の線の上を上下し、線からのずれはいちばん大きいところで1.7×10⁻¹³mmでした。

この大きさは、コンピューターが小数を丸める誤差を何回か重ねた程度です。つまり、ずれは0と読めます。

1877年に本になったケンプの講演録によると、この問題を最初に解いたのは、フランス陸軍の工兵将校だったポーセリエで、1864年のことでした。のちにロシアのリプキンも同じ機構にたどり着いています¹。東京理科大学の講義資料は「ポースリエの機構」と書き、幾何学的に直線運動をする厳正直線運動機構に分類しています。ワットやチェビシェフの機構は、近似直線運動機構のほうです²。

点の名前を先に決めておきます。腕の固定点がO、クランクの固定点がQで、OQは50mmです。腕の先端がAとB、クランクが連結される菱形の頂点がP、ペンを付けた頂点がP′です。冒頭の例でハンドを付けるのは、このP′です。オレンジのクランクを±45.9度揺動させると、ペンは奥の白い線に沿って±80mm動きます。

白い線は、計算した直線の位置に引いた目印にすぎません。ペンの先端とは0.5mmのクリアランスを取ってあり、線がペンを案内しているわけではないのです。

このモデルは動きを見るための模式です。リンクは厚さ5mm、幅14mm、ピンは直径6mm、穴は直径6.4mmで、どれも組み立てやすさから決めました。リンクは重なるところで前後の層をずらし、奥から順にクランク、菱形の辺の2層、腕の2層と重ねています。菱形の向かい合う辺は平行で干渉しないので、同じ層に置きました。

部品どうしの干渉は、1往復を24コマに分けて確認しています。外形の箱が重なる組み合わせ、のべ540組をブーリアン演算で重ねると、干渉体積はどのコマも0でした。

動作のコマごとに部品の組の干渉を確認する作業は、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQにも入っています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワーク仕様などの装置の条件から3Dと組立図、部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻を動かすと、動作中の各時点のクリアランスを確認できます。

固定の台も1つの節と数えると、節は8個、ピンで連結される回り対偶は10個です。3本が1本のピンに集まるO、A、B、Pは、講義資料の例題にならって対偶を2つずつと数えました。平面機構の自由度を求める式に入れると、3×(8−1)−2×10＝1です²。クランクの角度を1つ決めれば、ほかの全部の位置が決まります。

菱形が距離の積を18,900に保つ

点の位置と、このあとの計算に使う補助の点M、D、Nを、モデルの寸法で1枚の平面図にしました。次の図では、3か所にある直角の印を見てください。証明はこの直角から組み立てます。

菱形は左右対称なので、O、P、P′は常に一直線に並びます。対角線ABの中点をMとすると、Mも同じ線の上にあり、ABはこの線と直角に交わります。三平方の定理を2回使えば、OPとOP′の積が腕と辺の長さだけで決まることが分かります¹。

OA² = OM² + AM²
AP² = MP² + AM²
OA² − AP² = OM² − MP²
          = (OM − MP)(OM + MP) = OP × OP′
OP × OP′ = 150² − 60² = 22,500 − 3,600 = 18,900 mm²

菱形が開いても閉じても、OAとAPの長さは変わりません。だから積も変わらないのです。ペンが中央にあるときはOMが144.5mm、MPが44.5mmで、144.5²−44.5²はやはり18,900になります。

ただ、モデルの位置はこの式を使わずに求めました。クランクの角度からPを出し、Oを中心とする半径150mmの円と、Pを中心とする半径60mmの円の交点をAとBにします。AとBから描いた半径60mmの円の交点が、P′です。そうして解いた位置で積を計算しました。

ペンの高さ	OP × OP′（mm）	積（mm²）
0mm	100.000 × 189.000	18,900.000
20mm	99.445 × 190.055	18,900.000
40mm	97.833 × 193.186	18,900.000
60mm	95.312 × 198.295	18,900.000
80mm	92.090 × 205.234	18,900.000

OPは8mm縮み、OP′は16mm伸びますが、積は小数第3位まで変わりません。クランク角を±45.9度の範囲で2,001点に分けて見ても、積の幅は18,899.999999999985〜18,900.000000000015でした。点Oからの距離の積が一定になるように点を対応させる変換を、幾何学では反転と呼びます。菱形と2本の腕は、PとP′を常に反転の関係に保つ仕組みです。

円が直線に変わる理由

では、積が一定だと、なぜ直線になるのでしょうか。要点はクランクの長さです。モデルでは50mmにして、OQの50mmとそろえました。するとPは、Oを通る半径50mmの円の上を動きます。円の上でOのちょうど反対側をDとすると、ODは直径の100mmです。半円に立つ角なので、角OPDは直角です。

P′からOQの延長に下ろした垂線の足をNとします。三角形OPDとONP′は相似で、OP×OP′＝ON×ODが成り立ちます¹。積は18,900、ODは100のままです。そのためONも189mmから変わらず、P′はOQに直角な線の上しか動けません。

直線までの距離 ON = (L² − S²) ÷ 2R = 18,900 ÷ 100 = 189 mm
ペンの高さ     y  = ON × tan(θ/2)
θ = 45.88° のとき y = 189 × tan 22.94° = 80.0 mm

Lは腕、Sは菱形の辺、Rはクランクの長さです。θはクランクの角度で、OQの向きから測ります。OPの向きがθの半分になるのは、円周角が中心角の半分だからです。

もっとも、クランクを一定の速度で回しても、ペンの速度は一定になりません。クランク1度あたり、ペンは中央で1.65mm、±80mmの端で1.94mm動きます。端のほうが2割近く速いわけです。ワークを搬送するときは、クランクの角速度からワークの速度を求める際に、この位置による違いを含めて考えます。

動画では、菱形が開いて閉じるあいだも、ペンの先端が白い線から離れないところを見てください。

腕と辺が一直線に伸びて止まる

ペンがOから最も遠くなるのは、AとBが重なり、O、P、A、P′が一直線に並んだときです。腕と辺が伸びきるので、OP′は150＋60で210mm、OPは150−60で90mmです。直線までの189mmと三平方の定理から、端の高さが出ます。

最大の高さ = √(210² − 189²) = √8,379 = 91.54 mm
ストローク = 2 × 91.54 = 183.07 mm（クランク角 ±51.68°）

とはいえ、実物はそこまで動けません。伸びきる手前で菱形が細くつぶれ、同じ層にある向かい合う辺が近づくからです。幅14mmのリンクなら、辺と辺の距離が14mmを切る高さ90.20mmで接触し始めます。モデルでも、高さ90.0mmでは干渉体積が0、90.5mmでは62mm³でした。使えるストロークは180.39mmで、動画はさらに余裕を見て±80mmにしています。この位置でも対角線ABは40mmあり、Pの角は38.9度です。

ストロークを伸ばしたいなら、クランクとOQを同じだけ長くする方法があります。直線までの距離ONがRに反比例して縮み、伸びきる円（半径210mm）を横切る長さが増えるからです。

ストローク = 2√((L + S)² − ON²)、ON = (L² − S²) ÷ 2R

Rが45mmだとONは210mmで、直線は伸びきる円に接するだけになり、ストロークは0です。逆にRを伸ばしていくと、中央の位置で菱形が開いていきます。次のグラフでは、灰色の線が65.3mmで0に落ちるところを見てください。

Rが68.74mm、つまり√18,900の半分になると、中央でPとP′が重なり、菱形は平らになります。幅14mmのリンクだと、その手前の65.3mmで、中央に来た菱形の向かい合う辺が接触します。中央を通過できなくなるので、グラフの灰色の線はそこで急に落ちるのです。

R	使えるストローク	中央のPの角
48mm	142.8mm	65.6度
50mm（モデル）	180.4mm	84.3度
55mm	239.5mm	118.0度
60mm	276.0mm	143.6度
65mm	301.5mm	165.3度

Rを50mmから60mmにするとストロークは1.5倍になりますが、中央に来たときのPとP′の間隔は89mmから37.5mmに縮みます。65mmなら15.4mmしか残りません。ピンの頭やハンドを取り付ける余地は、この間隔で決まります。必要なストロークと、ハンドとワークが占める寸法の両方を、このRを選ぶ段階で見比べることになります。

0.1mmの差で直線は大きな円になる

ケンプは、OQとクランクの長さが違うと、ペンは直線ではなく円を描くと書いています。差がわずかなら、その円はとても大きくなるとも説明しています¹。Oを通らない円を反転すると円になる、という幾何の性質です。たとえば、編集部でクランクだけを0.1mm長くして計算すると、ペンが描く円の半径は94.6mです。±80mmの区間で、両端を結んだ直線から中央が0.034mmふくらみます。

円の半径 = R′ × (L² − S²) ÷ |OQ² − R′²|
        = 50.1 × 18,900 ÷ |50² − 50.1²| = 94,594 mm
ふくらみ = 94,594 − √(94,594² − 80²) = 0.034 mm

R′は誤差を含んだクランクの長さです。逆にOQのほうを0.1mm長くすると、ふくらむ向きは逆になり、大きさは同じ0.034mmでした。影響するのは、2つの長さの差のほうです。

腕や辺の誤差も、同じように計算しました。次のグラフは、どれか1本だけを0.1mm長くしたときのずれです。黒い線は0から動きません。ほかの線がどんな形に曲がるかを見てください。

腕を片方だけ0.1mm長くすると、クランクを0.1mm長くしたときの3倍以上ずれます。しかも曲がりはS字で、幅は0.114mmです。辺APだけなら0.074mm、辺AP′だけなら0.034mmでした。ワークの搬送経路にとっては、この幅が経路のずれ（両端を結んだ直線からの偏差）になります。幾何公差の真直度とは定義も測り方も違う値です。

一方で、腕を2本とも0.1mm長くすると、ずれは0のままです。直線の位置が189.30mmへ移るだけです。辺を4本そろえて長くしても同じで、188.88mmへ移動して直線のままでした。直線を崩すのは長さそのものより、そろっているはずの長さの差なのです。2本の腕、4本の辺、クランクとOQ。この組ごとに長さをそろえることが、公差を決めるときの出発点になるでしょう。客先から経路のずれの許容値が示されれば、上の0.034〜0.114mmと比べて、各組の長さの差を何mmに収めるかが決まります。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。

このモデルの穴はピンより直径で0.4mm大きく、実物ならピンのガタも直線を乱すはずです。ガタの影響は荷重のかかり方で変わるため、ここでは計算していません。ハンドとワークの質量がどの向きにかかるかで変わる量なので、ここも客先のワーク仕様を確認してから見積もる項目です。

近似直線運動機構と比べると、違いはずれの出どころにあります。ワットの機構は動くリンクが3本で済みますが、図面どおりに作っても、平均の位置から離れるほど直線から外れていきます。どれだけ外れるかは、ワットとチェビシェフを同じ台で比べた記事で計算しました。ケンプは、動くリンクが3本では厳密な直線は作れないとも書いています¹。ポーセリエ機構のずれは、図面の上では0です。実物のずれは、おもに長さの差とピンのガタ、リンクのたわみから出ます。リンクが7本に増えるぶん、そろえる長さの組も増えるわけです。

図面にポーセリエ機構を描くとき、最初に押さえる寸法は菱形の大きさではないのかもしれません。ケンプが注意したクランクとOQの差は、0.1mmなら半径95m近い円で済みます。この寸法で影響が大きかったのは、むしろ2本の腕の差でした。

2026年11月9日 更新：直動ガイドを使わずにワークを直線で搬送する場面を中心に、経路の直線からのずれとリンクどうしのクリアランスを加え、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. A. B. Kempe「How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages」（1877年刊。1876年夏の講演をまとめた本）。Project Gutenbergの電子版のPDFを読みました（2026年10月31日に確認）。ページはPDFの各ページの上に刷られた番号です。ワットの機構と、動くリンクが3本では足りないという話はp.8〜9、チェビシェフの機構はp.10〜11、ポーセリエとリプキンの話はp.11〜12、直線になる証明はp.12〜13、積が一定になる証明はp.13〜14、OQとクランクの長さが違うと円を描く話はp.24〜25にあります。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

2. 東京理科大学 野口研究室「機構学」の講義資料。第2回 機械と機構の「1・5 連鎖の自由度」と、続く「平面連鎖の自由度例題」（3つの節が集まる多節対偶を、2節対偶に置き換えて数える例）、第4回 リンク機構2の「2・6 直線運動機構」（2026年10月31日に確認）。 ↩ ↩