ギヤポンプの吐出量の計算。歯溝を数えると多く出る理由と、閉じ込みと逃がし溝

ギヤポンプを選ぶときに先に決まっているのは、顧客の装置が必要とする流量と圧力、それに使う油です。このうち押しのけ容積と回転数で決まるのは理論の吐出量だけで、実際に送れる量は、使う圧力と油の粘度での漏れで変わります。圧力と粘度は、客先に確認する項目です。

では、歯車の歯溝に入る油を数えれば、ギヤポンプの吐出量になるでしょうか。モジュール3、14歯、歯幅20mmの歯車2枚をモデルにして数えると、1回転で18.96cm³。吐出量の式で計算した16.14cm³より、17%も多く出てしまいます。

数えた油の中には、吐き出し口まで届かずに戻ってくる分があるのです。2枚の歯がかみ合うところでは、歯と歯のあいだに油が閉じ込められます。下のモデルで1ピッチごとに吸い込み側へ戻る量を計算すると201mm³。その閉じた空間がいちばん小さくなったときの体積と、同じ値でした。

外接歯車ポンプは、2枚の歯車を外側どうしでかみ合わせ、ケースに収めたポンプです。下のモデルでは、下の駆動歯車が反時計回りに回転して上の従動歯車を回し、左の吸い込み口から入った油を右の吐き出し口へ送ります。橙色の塊は、歯溝1つに1個ずつ入れた油の模式です。

手前のふたは外し、内側を手前に向けて右に立てました。裏返したので左右が入れ替わり、左の溝が吐き出し側です。組んだときの向きで溝を見たいときは、3Dの下のチェックで歯車と油を非表示にすると、奥のふたに彫った同じ溝が見えます。本体を非表示にすれば、油の通り道を追えます。次の3Dでは、油の塊が歯溝に乗って外周を回る様子を見てください。

歯車は標準の平歯車です。小原歯車工業の資料にある基準ラックに合わせて、圧力角は20°、歯末のたけは1.00m、歯元のたけは1.25mにしました¹。転位はしていません。14歯は切下げが起きる限界の17.1歯より少ない歯数です²。ただ、基準ラックと同じ形の工具で歯切りしたと仮定して計算すると、相手の歯が接触し始める半径19.75mmより外側では、歯面とインボリュートの差は0.001mm未満でした³。かみ合い率と押しのけ容積の式の値は変わりません。

違うのは歯元の形です。モデルは基礎円から下を直線と小さな丸みで簡略化していて、工具の刃先にある丸みで削られた歯元より、肉が少なく、歯溝1つが1.10mm²広くなります。歯先とケースのクリアランスは0.10mm、側面は片側0.05mm。どちらも見やすさを優先して決めた値です。後の節で書くとおり、漏れはこの歯先と側面のクリアランスを通るので、実際の寸法はメーカーの値によります。

歯どうしと、歯車とケースが干渉しないことは、ブーリアン演算の体積で調べました。1ピッチを12コマに分けた歯どうしも、4コマで見た歯車と本体や奥のふたも、すべて0mm³です。油の模式は口の奥から、歯溝の中心を通る線に沿って出入りさせました。歯溝に乗っている間も、管との行き来の途中も、歯車とは重なりません。最短距離は歯どうしが0.037mm、油と歯が0.14mm。口と管の中では油が本体や管の壁に入り込みますが、外からは見えない位置です。

歯車とケース、ふたのように、部品の組ごとのクリアランスを並べて確認する作業は、装置設計の支援アプリ MEKARIQ にも入っています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。使用圧力や油の粘度のように AI が決めきれない条件は、客先への確認事項として一覧にします。

油は歯車の外周を回って搬送される

吸い込み口から入った油は、かみ合いの中を通りません。歯溝に乗って歯車の外周を回り、吐き出し口へ向かいます。ジェイテクトの論文は、運ばれた油が「吐出空間におけるギヤのかみあいによる負の体積変化によって圧送吐出される」と書いています⁴。同社は、電動モーターで回す油圧パワーステアリングの油圧源として、外接ギヤポンプを量産してきました。

駆動歯車にある歯溝を1つ、モデルで追ってみます。かみ合いを抜けた歯溝は、左の吸い込み口に面したところで開き、油を受け取ります。そこから下を回るあいだ、歯先はケースの円筒形の壁に囲まれたままです。口の中心を通る断面で測ると、その範囲は1枚あたり約250°で、歯溝およそ10個ぶん。右の吐き出し口に面して歯溝が開くと、上の歯車の歯が入り込んで油を押し出します。上の従動歯車も、上側を回って同じことをくり返しているのです。

では、吐き出し口の油が、かみ合いを通って吸い込み側へ抜けないのはなぜでしょう。歯どうしの接触が、2つの部屋を仕切っているからです。かみ合い率はこのモデルで1.46あり、どの瞬間も少なくとも1か所で歯が接触しています。

動画では、油が左の管から歯溝に入り、外周を回って右の管に消えていく様子を見てください。

歯溝を数えると多く出る

最初の18.96cm³と式の16.14cm³。見積もり方を1つずつ変えると、どこで差がつくかが見えます。歯溝の面積は、モデルの断面からCADで計算した値です。

見積もり方	1回転	式との差
歯溝を歯底から数える	18.96cm³	+17.4%
相手の歯が入る深さだけ数える	17.60cm³	+9.0%
2πm²zb	15.83cm³	−1.9%
2πb(ra²−r²−pb²/12)	16.14cm³	基準

歯底まで数えると、相手の歯が届かない深さ0.75mm（頂げき）の油まで入ります。ただ、それを除いても、まだ9%多い。相手の歯は歯溝をぴったりふさがず、歯先の両わきに油が残るからです。

上の2行は簡略化した歯元で数えた値です。工具で歯切りした歯形で数え直すと、18.34cm³（+13.6%）と17.46cm³（+8.1%）に下がります³。それでも、数えるだけでは多めに出ることは変わりません。

表の最後の式は、ZhaoとVacca（パデュー大学）が論文に示した平均流量の式を、1回転ぶんに直したものです⁵。瞬間ごとの流量は、歯どうしの接触点がピッチ点からどれだけ離れているかで変わります。その離れ方uは、1ピッチ進むあいだに−pb/2から+pb/2まで動きます。pbは基礎円ピッチ。u²を平均するとpb²/12になり、これが式の最後の項です。

m = 3（モジュール）  z = 14（歯数）  α = 20°（圧力角）  b = 20 mm（歯幅）
ra = 24 mm（歯先円の半径）  r = 21 mm（基準円の半径）
pb = π × m × cos α = π × 3 × cos 20° = 8.856 mm（基礎円ピッチ）
V  = 2π × b × (ra² − r² − pb²/12)
   = 2π × 20 × (576 − 441 − 6.536)
   = 125.66 × 128.46 = 16,143 mm³ = 16.14 cm³

2πm²zbが少し小さく出る理由も、この式で分かります。ra = r + m、r = mz/2を入れて展開すると、V = 2πbm²(z + 1 − π²cos²α/12)。括弧の中は歯数zより0.274大きく、14歯ではその分が1.9%の差になります。歯数が多いほど、2つの式は近づきます。

1ピッチで見ると、数字の行き先がはっきりします。2枚の歯車が運び込む油は、歯溝2つと歯幅で1,354mm³。吐き出すのは16,143÷14で1,153mm³です。差の201mm³は、次の節で計算する「閉じた空間」がいちばん小さいときの体積と、0.1mm³もずれずに一致しました⁶。

偶然ではありません。表の式は閉じた空間を、体積が最小になった瞬間に吸い込み側の溝へ切り替える前提で出したものです⁵。その瞬間に空間に残っている油は、吸い込み側へ戻ります。1ピッチ回れば歯の並びは元に戻るので、運び込んだ油は、吐き出した油と戻した油の和になるはずです。CADの断面と式という別々の計算で、その収支が合ったことになります。

流量は一定でもありません。uが動くので、流量は平均より5.1%多いところから10.2%少ないところまで脈動します。1,500rpmなら、この流量脈動が1秒に350回（14歯×1,500÷60）くり返されます。

回転数から吐出量を出す

理論の吐出量は、押しのけ容積に回転数を掛けるだけです。でも実際には、歯先や側面のクリアランスを通って、吐き出し側から吸い込み側へ漏れる油があります。ジェイテクトの論文では、容積効率は1から漏れ流量÷（理論押しのけ容積×回転数）を引いた値です⁴。下の表では、容積効率を仮に0.90と置いています。

回転数	理論の吐出量	容積効率0.90のとき
500rpm	8.07L/min	7.26L/min
1,000rpm	16.14L/min	14.53L/min
1,500rpm	24.21L/min	21.79L/min
1,800rpm	29.06L/min	26.15L/min
3,000rpm	48.43L/min	43.59L/min

0.90はあくまで置いた値です。同じ論文によると、漏れは圧力が高いほど増え、歯車がケースの中で片寄る量によっても変わります⁴。だから、実際に使う圧力と粘度での値は、メーカーのカタログにある性能曲線から読むことになるでしょう。冒頭で客先に確認するとした圧力と粘度は、ここで使います。

モーターの大きさも、同じ論文にある理論トルクの式で見当が付きます。トルクは押しのけ容積×圧力差÷2πで、圧力差を5MPaとすると12.85N·m。1,500rpmなら2.02kWです⁴。損失を含まない理論の値なので目安にとどめ、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

かみ合いで油が閉じ込められる

かみ合い率が1を超えると、2組の歯が同時に接触している時間ができます。かみ合い率は、作用線の上でかみ合う長さを基礎円ピッチで割った値です⁷。

かみ合い長さ g = 2√(ra² − rb²) − a × sin α
              = 2√(24² − 19.73²) − 42 × sin 20° = 12.95 mm
かみ合い率   ε = g ÷ pb = 12.95 ÷ 8.856 = 1.46
2組で接触する角度 = (ε − 1) × 360° ÷ z = 11.9°（1ピッチは25.7°）

1ピッチのうち46%の時間、2つの接触点のあいだに、どこにもつながらない空間ができます。ジェイテクトの論文は、油が縮みにくいうえに逃げ道の断面が足りないため、この空間の「内部の圧力はポンプ吐出圧よりも大きくなる」と書いています⁴。逆に空間が広がるときは圧力が下がりすぎ、キャビテーション（気泡の発生）の原因になります⁸。

モデルを断面で切り、駆動歯車を0.25°ずつ回転させながら、閉じた空間の面積を計算しました。グラフでは、曲線の底の位置と、左右の端の高さを見てください。

体積は249mm³から212mm³まで15%縮み、また249mm³に戻ります。曲線は左右対称の放物線。上海大学のHaoらが論文で示した形と同じです⁸。

放物線になることは、Zhaoらの式(6)からも導けます⁵。式(6)では、接触点がピッチ点からuだけ離れているときの流量が、歯幅b×角速度ω×(ra² − r² − u²)です。閉じた空間は、作用線の上でpbだけ離れた2つの接触点に挟まれているので、体積が変わる速さは2点の流量の差で、b × ω × pb × 2ūになります。ūは2点のまん中を表し、体積が最小のときに0。駆動歯車がΔθ回転すると、rb × Δθだけ動きます。これを積分したのが次の式です。

閉じた空間の面積 A = Amin + pb × rb × Δθ²（Δθはラジアン）
pb × rb = 8.856 × 19.73 = 174.8 mm²
両端（Δθ = ±5.95°）での増え方 = 174.8 × 0.1039² = 1.88 mm²（体積 37.7 mm³）

CADの断面に放物線を当てはめると、係数は174.76mm²でした。ずれは最大でも0.0002mm²しかありません。

縮み始めの速さは大きく、1,500rpmで回転させると、閉じた直後の空間は毎分6.84Lに当たる速さで体積を減らします。ポンプ全体で吐き出す24.21L/minと比べると、28%に当たる量です。速さは最小の位置に向かって0まで落ちるので、縮むのは閉じ込みの前半、0.66msだけ。後半の0.66msは、左右対称に同じ速さで広がります。これが1秒に350回くり返されます。

逃がし溝は体積が最小の位置で切り替える

閉じた油の逃げ道は、ふたに彫った浅い溝です。ZhaoとVaccaによると、歯車の側面に向き合う部品のくぼみが、閉じた油を軸の向きに逃がす通り道になります⁵。縮んでいるあいだは吐き出し側の溝へ、広がり始めたら吸い込み側の溝へ。切り替えるのは、体積が最小になる瞬間です。

切り替えがずれると、どちらかの不具合が出ます。2つの溝に同時につながると、吐き出し口から吸い込み口へ油が素通りし、容積効率が大きく下がります。どちらにもつながらない時間があれば、そのあいだ油は閉じ込められたままです⁵。

溝の縁は、体積が最小のときの接触点に合わせます。このとき2つの接触点は、作用線に沿ってピッチ点からpb÷2ずつ離れた位置にあります⁵。水平に測ると(pb÷2)×cos αで、中心から±4.16mm。溝の内側の縁どうしの間隔は8.32mm、式で書けばπm cos²αです。モデルを断面で見ても、最小のときの閉じた空間は横に±4.13mmまででした。

次の図は、3つの角度での断面です。橙の空間が、どちらの青い溝に重なっているかを見てください。

重なるのは、始まりでは右の溝、終わりでは左の溝だけ。0.25°刻みで1ピッチを調べても、両方の溝に同時につながる角度はありませんでした。どちらにもつながらないのは、最小の位置の1点だけです。

縁を動かすと、結果ははっきり変わります。内側へ0.66mm寄せて±3.5mmにすると、1ピッチのうち3.7°のあいだ、閉じた空間をはさんで両方の溝がつながりました。時間にすると14%で、そのあいだ吐き出し側と吸い込み側が直結します。逆に±5.0mmまで離すと、5.4°のあいだどちらにもつながりません。その前半だけでも、閉じた油は6.8mm³（3.1%）縮められます。

もっとも、ZhaoとVaccaは実際には、閉じた空間で圧力が行き過ぎるのを逃がすため、両方の溝にわずかにつながる時間を設けることが多いとも書いています⁵。また、切り替えを最小の位置からずらすと、平均の流量は減ります。同じ論文の式(18)で計算すると、閉じ込みの始まりか終わりまでずらしきった場合で3.3%。最初に計算した16.14cm³は、ちょうど最小の位置で切り替えたときの値です。

押しのけ容積の16.14cm³は、歯車の寸法だけで決まります。けれど、そのとおりに送れるかどうかは、深さ1.5mmの溝の縁が1mmもずれないうちに変わってしまう。歯形を決めたら、ふたの図面に溝を描く前に、かみ合いの断面を1枚描いて、溝の縁の位置を確認します。

2026年11月1日 訂正：本文で資料を指す注の番号が、ページの注の番号とずれていました（基準ラックの表の資料）。注の番号を本文に出てくる順にそろえ、指す先を直しました。

2026年11月9日 更新：顧客の装置が必要とする流量と圧力から読む順に、歯先と側面のクリアランスの見方を加え、業界の用語で表現を書き直しました。

注

1. 小原歯車工業「歯車の歯形及び寸法」（2026年10月31日に確認）。同ページは2015年の冊子カタログ当時のデータと注記しています。歯底すみ肉部曲率半径0.38mも、同ページの表3.1によります。 ↩

2. 小原歯車工業「切下げ」（2026年10月31日に確認）。17歯以下でも、強度とかみ合い率に問題がなければ使用上さしつかえないとあります。 ↩

3. 編集部の計算です。基準ラックの形（圧力角20°、歯元のたけ1.25m）で、刃先の丸みを歯底すみ肉部曲率半径の0.38m（注1の資料の表3.1）としたラック工具を仮定し、歯車を0.0001ラジアンずつ転がして削られる範囲を半径ごとに求めました。実際のホブの形では確かめていません。歯溝1つの面積は32.75mm²で、モデルの33.85mm²より1.10mm²小さくなります。この歯形でも、1ピッチで運び込む1,310.1mm³と吐き出す1,153.1mm³の差の157.0mm³は、体積が最小のときの閉じた空間の156.9mm³と合いました（接触を閉じるため、従動歯車を2µmぶん回した断面で計算）。 ↩ ↩

4. ジェイテクト 吉田直史「量産型外接ギヤポンプの流量特性と軸受負荷に関する理論解析」（JTEKT ENGINEERING JOURNAL No.1013、2015年、2026年10月31日に確認）。量産の用途は1章、ポンプの構造は3章、容積効率は式(1)、理論トルクの式と閉じ込みの説明は4章、圧力と漏れの関係は5章によります。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

5. Xinran Zhao, Andrea Vacca「Theoretical Investigation into the Ripple Source of External Gear Pumps」（Energies 12巻3号 535、2019年、2026年10月31日に確認）。瞬間の流量は式(6)、基礎円ピッチは式(9)、平均の流量は式(18)、溝のつなぎ方の分類と、実際にはわずかな重なりを設けることが多いという記述は3.1節、側面のくぼみの役目は1章、体積が最小のときの接触点の位置は図13によります。式(6)は1961年のBonaciniの方法によるもので、式の中心距離の半分は、同じ歯車どうしなら基準円の半径rに等しくなります。閉じた空間の面積の放物線の式と、溝の縁の位置(pb÷2)×cos αは、式(6)と図13から編集部で導いたものです。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

6. バックラッシを0にした歯で、体積が最小になる角度の断面を計算すると、空間は左右に2つでき、合わせて200.86mm³でした。1ピッチで運び込む1,353.9mm³と吐き出す1,153.1mm³の差は、丸める前の値で200.9mm³です。モデルの歯はバックラッシ0.08mmのぶん薄いため、2つの空間がすき間でつながり、最小の体積は212mm³になります。 ↩

7. 小原歯車工業「インボリュート歯車のかみ合い」（2026年10月31日に確認）。基礎円ピッチの式(3.4)と、正面かみ合い率の定義によります。かみ合い長さの式は、同じ大きさの標準平歯車として書き下しました。 ↩

8. Xiaoru Hao, Xiaojun Zhou, Xiaoguang Liu「The Analysis of Trapped Volume in Gear Pump」（ICMEIT 2016、Atlantis Press、2026年10月31日に確認）。閉じた空間の体積が左右対称の放物線になることと、圧力が高すぎると振動や騒音、低すぎるとキャビテーションの原因になることが書かれています。 ↩ ↩