カム曲線の選び方。ワークを含む等価質量と回転数で変形台形と変形正弦を比べる

例として、カムでワークを30mm押し上げて次の工程へ渡す装置を考えます。このような装置では、ワーク仕様と前後の工程から、揚程と、上昇と停止に使える時間が決まります。300rpmで回るカムが90度のあいだに従動節を30mm押し上げるとき、1回転は60 ÷ 300 = 0.2秒で、上昇も停止も90 ÷ 360 × 0.2 = 0.05秒です。1回転で1個のワークを処理するなら、毎分300個になります。

この条件で、加速度が小さいのは変形台形曲線、カム軸のトルクが小さいのは変形正弦曲線です。この2つは、比べる数値によって順位が入れ替わります。最大の加速度は変形台形で58.7m/s²、変形正弦で66.3m/s²です。ところが従動節を加速するためにカム軸が出すトルクの山は、変形正弦のほうが3割ほど低くなります。

つまり、装置の制約が回転数か負荷の質量かで、選ぶ曲線は変わります。判断の基準は、曲線ごとに決まっている最大加速度と最大速度の2つの数値です。

下のモデルは、等速、単弦、サイクロイド、変形台形、変形正弦の5つの曲線から輪郭を計算した円板カムを、1本の軸に並べたものです。基礎円の半径50mmとローラーの半径10mmは共通です。どれも90度で30mm上昇し、90度停止し、90度で下降して、また90度停止します。3Dでは、上昇し始めたときに5本の従動節がどの順で上がるかを見てください。

並びは左から等速、単弦、サイクロイド、変形台形、変形正弦です。奥の白い板の段は、揚程0、10、20、30mmの高さを示します。上昇し始めると左の2本が先に出て、右の3本はほとんどそろって追いかけるはずです。

等速のカムだけは、上昇の始めにローラーと同じ半径10mmのくぼみがあり、上昇の終わりの縁が尖っています。速度が一瞬で変わるところでは、輪郭も折れるのです。輪郭はローラーの中心の軌跡に並べた円の包絡線として計算し、部品どうしが干渉しないことは干渉体積と最短距離の両方で確認しました¹。ローラーとカムのクリアランスは、等速以外で0.020mmです。

5つの曲線を無次元の値で比べる

曲線どうしを比べるときは、上昇にかかる時間と揚程をどちらも1にした無次元の値を使います²。Tは回転した角度を上昇の角度で割った値、Sは変位を揚程で割った値です。SをTで1回微分するとV、2回でA、3回でJになり、Jは加加速度（ジャーク）と呼ばれます。加速度が変わる速さのことです。

実際の値に戻すときは、揚程hと上昇の時間thを掛けるだけです。

変位    s = h × S
速度    v = (h ÷ th) × V
加速度  a = (h ÷ th²) × A
上昇の時間 th = 90° ÷ 360° × 60 ÷ 300 = 0.05 s
h ÷ th = 0.6 m/s、h ÷ th² = 12 m/s²

そのため、hとthがそろっていれば、曲線の比較はV、A、Jの最大値であるVm、Am、Jmの比較で済みます。

変形台形曲線は、加速度の線が台形になる曲線です。ただし、台形のままでは角で加速度が不連続になるので、上昇を8つに分け、角に当たる区間を正弦波でなめらかにつないであります。0から1/8で加速度が立ち上がり、3/8まで一定、5/8までに向きを変え、7/8まで一定、1で0に戻る形です²。

変形正弦曲線では、最初と最後の1/8を短い正弦波で立ち上げ、あいだの3/4を周期の長い正弦波1本でつなぎます。加速度の最大値を式で書くと、変形台形は8π/(π+2)で4.888、変形正弦は4π²/(π+4)で5.528です²。単弦とサイクロイドの式は、円板カムの記事で計算しています。等速はS = Tで、Vはずっと1のままです。

下の図は、300rpmでの変位、速度、加速度を、上昇の90度分重ねたものです。右の3本の変位はほとんど同じなのに、加速度の山は高さも形も違います。そこを見比べてください。

変位の線は、どれも45度で15mmを通過しました。右の3本の差は、いちばん開く28度と62度あたりでも0.88mmしかありません。それでも加速度の山を比べると、サイクロイドが75.4m/s²、変形台形が58.7m/s²で、2割以上の開きです。変位のグラフだけを見ていたら、この差にはまず気づけないでしょう。

ワークにとっては、この0.88mmが動作途中のクリアランスの差になります。上昇の途中でワークや従動節の先の部品が周辺の部品の近くを通過するなら、右の3本のあいだで曲線を替えるだけでも、同じ時刻の位置が最大0.88mm変わります。等速と単弦は、上昇の始めで右の3本より先に出ます。静止した姿勢の図面では見えない差なので、動作途中の各時刻でクリアランスを確認しておきます。

こうした動作途中のクリアランスは、提供前の装置設計の支援アプリMEKARIQでも確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）MEKARIQは、ワークの寸法や質量などの装置の条件から、3Dと組立図・部品図、部品表、回路図を生成します。干渉チェックでは、部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスを並べて判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、上昇の途中の各時点でクリアランスを確認できます。加速度と力は、次の節のように別に計算します。

等速は、上昇の始めに速度が0から0.6m/sへ一瞬で変わります。加速度は理論上は無限大になり、停止した状態から動き出す使い方では衝撃を避けられません。単弦も、上昇の始めに加速度が0から59.2m/s²へ不連続に変わります。

5つの曲線の最大値は次のとおりです。帯の長さは列の中の比で、色の付いた数値は各列でいちばん小さい値です。(AV)mは加速度と速度の積の最大値で、次の節でトルクの計算に使います。

曲線VmAmJm(AV)m

等速1.000∞∞∞

単弦1.5714.935∞3.876

サイクロイド2.0006.28339.488.162

変形台形2.0004.88861.438.090

変形正弦1.7605.52869.475.458

香取氏の資料の式から計算した値。変形正弦のJmは両端の値で、中央では23.16。斜線の帯は無限大。

すべての列で小さい曲線は、ひとつもありません。山梨大学の牧野洋氏は1973年の記事で、「Vmを低く押えようとするとAmやJmが高くなり、Jmを押えればAmやVmが上り、Amを押えればVmやJmが飛出す」と書き、それを「ゴム袋を押え込む感じ」とたとえました³。

300rpmで、力とトルクの順位が入れ替わる

では、実際の力にするとどうなるでしょうか。従動節と、その先で動かすレバーや工具を合わせた等価質量を2kgとして計算しました。モデルの従動節はローラーを含めて47gしかありませんが、実機ではつながる部品の分が加わります。ワークを載せて押し上げるなら、ワークの質量もこの等価質量に入ります。300rpmは、テクファ・ジャパンの香取英男氏が私見として示す区分だと、低速と中速の境です²。

慣性力は最大加速度に比例しますが、カム軸のトルクは加速度と速度の積で決まります。従動節を加速する力に速度を掛けるとカム軸から伝わる動力になり、それをカムの角速度で割ればトルクだからです。香取氏の資料にも、同じ式が載っています²。

慣性力          F = m × (h ÷ th²) × A
カム軸のトルク  q = F × v ÷ ω = m × h² ÷ (β × th²) × (A × V)
m = 2 kg、h = 0.03 m、β = π/2 rad、th = 0.05 s
m × h² ÷ (β × th²) = 0.458 N·m

曲線	最大の慣性力	慣性によるトルクの山
等速	∞	∞
単弦	118N	1.78N·m
サイクロイド	151N	3.74N·m
変形台形	117N	3.71N·m
変形正弦	133N	2.50N·m

慣性力がいちばん小さいのは変形台形で、117Nです。変形正弦の133Nより12%低くなります。ところがトルクでは、変形正弦が変形台形より33%低くなります。なぜ逆になるのでしょうか。変形台形は、速度がかなり上がった3/8まで加速度を最大のまま保つので、2つの積が大きくなります。トルクだけなら単弦がさらに低いものの、上昇の始めの不連続は残ったままです。

高速では慣性の分がトルクの大半を占めます。ばねや粘性の負荷がとくに大きい場合を除けば、慣性のトルクに2〜3割を加えておけば足りる、というのが香取氏の資料にある目安です²。ただし、これはばねを使わない確動カム（溝カム）の話です。下で求める100N前後のばねで押し付けると、上昇の間にカムがばねも圧縮するので、ばねの負荷が「とくに大きい場合」に当たります。ばねの力を浮き上がらない限界の一定の値と置き、重力も入れて計算し直すと、トルクの山は変形台形で7.6N·m、変形正弦で6.1N·mです。慣性だけのときの倍ほどになり、変形正弦の有利は2割に縮みます。

慣性力の上限で回転数が決まる機械なら、この差はそのまま回転数の差になります。たとえばサイクロイドの300rpmと同じ151Nまで許すと、変形台形は340rpm、変形正弦は320rpmまで上げられます。加速度は回転数の2乗で増えるので、上げられる回転数の比は、Amの比の平方根になる計算です。

ばねで従動節をカムに押し付ける形なら、ばねの強さも同じ順で決まります。牧野氏の勧めた手順は、最高回転数での負の最大加速度に等価質量を掛けて慣性力を出し、それに勝つばねを選ぶというものでした³。

この手順に沿うと、上昇の終わりの減速で従動節が浮き上がらないために必要なばねの力は、重力の19.6Nを差し引いて、変形台形で98N、変形正弦で113N、サイクロイドで131Nです。ワークの質量が増えれば、慣性力とばねの力は等価質量に比例して増えます。どれも目安で、最終の判断はメーカーの資料と設計基準で行ってください。

Vmが小さいと、カムも小さくできる

変形正弦のもう一つの利点は、Vmが1.76と小さいことです。圧力角は、円板カムの記事でも計算したとおり、一般に30度未満が目安とされます⁴。圧力角はds/dθとともに大きくなるので、Vmが大きい曲線ほど、カムを大きくしないと30度以内に収まりません。

tan φ = (ds/dθ) ÷ (R0 + s) = (h × V ÷ β) ÷ (R0 + h × S)
R0 はカムの中心からローラーの中心までの最小の距離（基礎円の半径 + ローラーの半径）

このモデルのR0 = 60mmだと、最大の圧力角は変形台形で27.2度、変形正弦で24.6度でした。30度ちょうどに収めるのに必要なR0を逆に求めると、変形台形の52.1mmに比べて、変形正弦は45.0mmで済みます。ローラーの10mmを引いた基礎円の半径なら42.1mmと35.0mmです。7mm、2割近く小さいカムで足りる計算です。装置の中でカムが占める範囲が小さくなれば、周辺の部品やワークの搬送経路とのクリアランスも取りやすくなります。

牧野氏も、変形正弦はVmが低いぶん「それだけカムを小さくできることになる」と書き、Vmの小ささを重い負荷に耐えられる理由に挙げました³。トルクの線に鋭い山がない点も、推す理由に入っています。

講習会で牧野氏が話していた目安は、「高速軽荷重には変形台形曲線が、中低速重荷重には変形正弦曲線あたりがいいでしょう」³。

インデックスユニットの現場の答えも、変形正弦に寄っていきました。同じ記事によると、ローラギヤ式のインデックスユニットを数多く作っていたファーガソン社は、牧野氏が訪ねた2年後に、カム曲線の標準を変形正弦と変形台形の2本立てから変形正弦だけに改めました。2009年には、カム式のインデックス装置を作るCDS社の社長と技術者が業界誌で、インデックスの動きでは変形正弦が「業界の標準」になったと書いています⁵。

何kgから重い負荷なのか

回転数を上げたいのに慣性力やばねの力の余裕がないなら、変形台形に替えるのが近道です。重いワークを押し上げるときや、モーターと減速機に余裕がないときは、トルクの山が低い変形正弦が有利でしょう。等速は、停止した状態から動き出す使い方には向きません。

単弦は、低速か、停止せずに上下を繰り返す動きなら使えます。上昇端からすぐ同じ90度で下降すれば、上昇の終わりと下降の始めの加速度がどちらも−59.2m/s²でつながり、不連続が消えるからです。

動画では、等速の棒がいちばん先に出て、上昇端の手前ではいちばん遅れる様子を見てください。

牧野氏は講習会で「先生、重荷重というのは何kgぐらいで、高速というのは何rpmのことですか」と聞かれ、「これには参った」と書いています。結局は「まずどっちかで作ってみて、それで駄目なら他の曲線に変えるのですね」と言うしかなかったそうです³。区切りの数値はなくても、ワークを含む等価質量と回転数が分かれば、上の表と同じ計算で2つの曲線の力とトルクを並べられます。ワークの質量のばらつきや、表面の状態、受け渡しの高さは、図面だけでは決まりません。MEKARIQでは、AIが決めきれないこうしたワークの条件を、客先への確認事項として一覧にします。右の3本で1mmに満たない変位の差が、ばねとモーターの大きさを決めるのです。

2026年11月9日 更新：ワークを含む等価質量と動作途中のクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. カム角0〜345度を15度ごとに、等速の角の前後など13の角度を足した37の角度で、ローラーとカム、従動節とフレームなど871の組をブーリアン演算の体積と最短距離で調べ、どの組も体積は0でした。外接する箱が離れている4,087の組は、箱のすき間で判定しています。ローラーは半径を0.02mm小さく作ってあり、カムとのすき間は単弦、サイクロイド、変形台形、変形正弦で0.020mm、等速で0.019〜0.082mmです。等速では、式どおりの位置に置いたローラーが、上がり終わり（カム角90度）で尖った縁から0.062mm離れます。変形台形のカムだけを3度進めると、ローラーに110mm³食い込み、すき間は0になりました。 ↩

2. 香取英男「カム・リンク機構の設計」（テクファ・ジャパン、2010年2月2日の講義資料）p.7（回転数の区分。香取氏の私見）、p.13（カム曲線の特性値の表）、p.14（無次元と実次元の関係）、p.16（標準曲線の区間の境）、p.22とp.23（変形台形と変形正弦の式）、p.46〜p.49（カム軸のトルク。p.47の式1·30の第1項が本文の式、p.48が割り増しの目安）。2026年10月31日に確認。式をスクリプトで計算した値は、p.13の表と4桁まで一致しました。Controllabの20-simのヘルプ「Cam Motion Profiles」の表も、3桁でほぼ同じ値です（変形台形のAmは4.88、変形正弦のJmは69.4と、末尾を切り捨てた形。同日に確認）。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

3. 牧野洋「カム機構設計の要点（その2）」（自動組立ニュース、1973年）。自動化推進協会のサイトの「温故知新　自動化アーカイブス　第2回」に再録されたもので、2026年10月31日に確認しました。協会は2023年の総会で解散を決めているため、Internet Archiveの写し（2016年6月9日）も添えます。引用は原文のままです。 ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

4. 東京理科大学の機構学の講義資料「カム機構」の18枚目（2026年10月31日に確認）。低速なら45度未満とされています。 ↩

5. Robert Zaruba、Stephen Gough「Cam we help you? Cams for indexing and oscillating」（Machine Design、2009年4月1日）。2026年10月31日に確認。原文は「Modified sine motion has evolved as the industry standard」で、カム式のインデックス装置の動きを説明する節にあります。 ↩