アッカーマン機構の角度計算。ワークを載せた台車の旋回で内側の車輪を大きく切る台形リンク

例として、ワークを載せた小型の台車を、前輪のかじ取りで旋回させるとします。旋回の中心が1点に決まらないと、車輪は横すべりしながら進みます。旋回の中心がどこにあるかで、車輪が通る範囲と、ワークを載せた車体が振れる範囲も決まります。

ホイールベース400mm、キングピン間隔260mmの台車で外輪を30度切るなら、横すべりせずに旋回できる内輪の角度は42.74度です。左右を同じ30度にそろえると、内輪は12.74度足りません。この差をリンクだけで作る仕組みが、アッカーマン機構です。

キングピンは、前輪が向きを変えるときの回転軸のこと。下のモデルでは、前車軸の両端にあるキングピンを軸に、前輪を支えるナックルが回ります。ナックルから後ろ内向きに出た腕がナックルアームで、左右のアームの先を1本のタイロッドで連結します。上から見ると前車軸とアームとタイロッドが台形に並ぶので、ここでは台形リンクと呼びます。

タイロッドが横に26.4mm動くと、左へ切るときは左の前輪が39.99度、右の前輪が30度まで切れます。右へ切れば左右が入れ替わり、どちらに切っても内側の前輪が大きく回ります。次の3Dでは、タイロッドが横に動いたときの左右の前輪の切れ角の違いを見てください。

このモデルは動きを見るための模式です。寸法は小型の台車ほどの大きさで編集部が決め、市販の車から写したものではありません。キングピンはまっすぐ立て、キャスター角とキングピンの傾きは0にしました。前輪はキングピンから外へ40mmずらして付け、左右の車輪中心の間隔（トレッド）は340mm。後輪と枠は形だけで、地面に引いた白い線は、あとで説明する目安です。

部品どうしが干渉しないかは、左右いっぱいに切るまでの9つの姿勢で確認しました。外形の箱が近い組み合わせ、のべ143組をブーリアン演算で重ねると、干渉体積はどれも0。最短距離も計算しました。いちばん近いのは、ピンや車軸と穴のあいだが0.3mm、キングピンと前車軸の穴が0.5mmで、どちらも穴の径で決めたクリアランスです。わざとタイロッドを3mm持ち上げると108mm³の干渉量が出ることも、あわせて確認しました。

姿勢ごとに部品の組のクリアランスを確認する機能は、提供前の装置設計の支援アプリ MEKARIQ にもあります。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、かじを切っていく途中の各時点でクリアランスを確認できます。

平行に切ると、内輪は13.66度ずれて進む

車輪は、車軸と直角の向きにしか転がれません。だから横すべりせずに旋回するには、すべての車輪の車軸を延ばした線が1点で交わる必要があります¹²。後輪は向きを変えないので、その点は後車軸を延ばした線の上に来ます。

左右の前輪をいつも同じ角度にする平行リンクだと、この条件は満たせません。2本の前輪の車軸を延ばした線は平行で、どこまで行っても交わらないからです。後車軸を延ばした線に届く位置は、どの角度でも、キングピン間隔と同じ260mmだけ離れます。次の図の上半分では、後車軸の線に並んだ2つの丸がどれだけ離れているかを見てください。

外輪が決める中心のまわりに車体が回るとすると、内輪の中心が進む向きは、タイヤが向いている向きから13.66度ずれます。この差を、タイヤのスリップ角と呼びます。冒頭の12.74度より大きいのは、タイヤの中心がキングピンより40mm外にあり、旋回の中心から見た向きが少し変わるためです。

内輪の中心が1m進むあいだに、タイヤは自分の向きと直角に0.24m（1m × sin 13.66度）すべる計算です。実際にはタイヤがたわみ、回る中心も動くので、これは形だけから出した目安にすぎません。それでも論文は、中心がそろわなければ前輪か後輪がすべり、タイヤの摩耗が増えると書いています¹。

図の下半分にある理想の42.74度なら、内輪の線も外輪と同じ点に届きます。ただ、モデルの39.99度だと、届く位置はその点から44mm外れます。

理想の角度は、cotの差で決まる

トレッドとキングピン間隔、式に入れるのはどちらでしょうか。先に式を出しておきます。回る中心が後車軸を延ばした線にあるとして、Lはホイールベース、Bはキングピン間隔、Rは車体の中心線から回る中心までの距離です。内輪のキングピンは中心にB/2だけ近く、外輪のキングピンはB/2だけ遠くにあります。

cot δi = (R − B/2) ÷ L
cot δo = (R + B/2) ÷ L
cot δo − cot δi = B ÷ L = 260 ÷ 400 = 0.65

外輪 δo = 30° のとき
cot δi = cot 30° − 0.65 = 1.7321 − 0.65 = 1.0821
δi = 42.74°
R = L × cot δo − B/2 = 692.82 − 130 = 562.82 mm

δiは内輪、δoは外輪の角度で、cotは1÷tanです。外輪の角度を決めれば、内輪の角度はLとBだけで決まります。このとき回る中心は車体の中心線から562.82mmで、外側の前輪は、中心が半径840mmの円を描きます。

答えはキングピン間隔です。前輪はキングピンを軸に回り、その車軸の線もキングピンを通るからです。先の論文の式も、車輪の間隔ではなく、前車軸の2つの支点の距離を使います¹。トレッドの340mmを入れると、外輪30度で内輪は48.59度となり、5.84度も切りすぎてしまいます。キングピンから車輪中心まで40mmある小さな台車では、見過ごせない差でしょう。

この値から、旋回で車輪が通る範囲も決まります。後輪は前輪と同じくキングピンから40mm外に付けたので、後輪のトレッドも340mmです。内側の後輪の中心は 562.82 − 340 ÷ 2 = 392.82mm の円を描くので、車輪の中心が通る範囲は 840 − 392.82 = 447.18mm の幅の帯になります。タイヤの幅30mmと、車体やワークの張り出しは含めていません。ワークがどれだけ車体の外へ張り出すか、載置位置がどれだけばらつくかは、モデルからは決まりません。客先に確認する項目です。MEKARIQ では、こうした AI が決めきれないワークの条件を、客先への確認事項として一覧に出します。

この式は、ゆっくり走るときに成り立つ幾何の条件です³。低い速さで向きを変える台車なら、そのまま設計の出発点に使えます。

名前の由来は、馬車の時代にさかのぼります。ドイツの人名事典によると、ルドルフ・アッカーマン（1764〜1834年）が1818年にイギリスで取った特許は、バイエルン宮廷の車大工ゲオルク・ランケンスペルガーが1816年に考えた、車軸が動くかじ取りでした⁴。アッカーマン自身も若いころは馬具や馬車を作る職人で、のちにロンドンで美術品の店を開いた人です。残ったのは、考えた人ではなく特許を取った人の名前でした。延長線を後車軸に向ける作図は、ジャントーの図（Jeantaud diagram）とも呼ばれます⁵。

後車軸の中心に向けても、内外の差は理想の6割

台形リンクを設計するとき、よく使われる目安があります。直進のときにナックルアームを延ばした線を、後車軸の中心で交わらせる置き方です。Dixonの本から引かれた一節によると、こうすれば本当のアッカーマンの角度になると広く信じられています⁵。モデルでも、アームはこの目安で置きました。図では、青い点線が後車軸の中心で交わるところを見てください。

tan β = (B/2) ÷ L = 130 ÷ 400 = 0.325   β = 18.00°
タイロッド = B − 2 × r × sin β = 260 − 2 × 50 × 0.3091 = 229.09 mm

rはアームの長さで50mm。内輪の角度は式1本では出ないため、外輪の角度を決めてから、左右のアームの先どうしの距離がタイロッドの長さと等しくなるように、内輪の角度を数値計算で探しました。次のグラフでは、オレンジの線が、青い線と灰色の線のあいだをどう通るかを見てください。

外輪	理想の内輪	モデルの内輪
10度	11.26度	10.70度
20度	25.49度	23.27度
30度	42.74度	39.99度

目安どおりに置いても、内輪の切れ方は理想より控えめになりました。内外の角度の差で比べると、モデルが作れているのは理想の差の56%（外輪10度）から78%（外輪30度）で、外輪20度までは6割に届きません。一節はそれに続けて、実際にはほど遠く、内輪の切れ方はアームの角度やラックの位置、切れ角によって複雑に変わると書いています⁵。そもそも4本の節でできたリンクで、アッカーマンの条件をどの角度でも満たせるものはないとされます³。

それでも、平行リンクと比べればスリップ角は大きく減ります。外輪30度での内輪のスリップ角を計算すると、平行リンクの13.66度に対して、モデルは2.96度。5分の1ほどまで減っていました。

動画では、左右に切り返すたびに、内側になった前輪のほうが大きく回るところを見てください。

交わる位置を前に出すと、死点が近づく

アームの角度βを大きくして延長線を前に寄せると、内輪はもっと大きく切れるようになります。次のグラフは、交わる位置を前車軸から520mm、400mm、340mmに置いた3通りの誤差です。それぞれの線が0から離れていく様子を比べてください。

交わる位置	30度までの最大の誤差	30度での伝達角
520mm（β14.0度）	−6.31度	35.6度
400mm（β18.0度、モデル）	−3.13度	26.4度
340mm（β20.9度）	+1.60度	17.4度

伝達角は、内輪のアームとタイロッドがなす角です。ここでは、アームとタイロッドが一直線に伸びきったときを0度として測ります。四節リンクの記事と同じく、90度に近いほどタイロッドの力がアームを回す向きに作用し、0度はそれ以上は回せない死点です。

たとえば340mmに寄せると、30度までの最大の誤差は1.60度まで縮みますが、外輪30度での伝達角は17.4度まで下がります。死点も外輪32.3度に迫ってきました。0〜30度で最大の誤差がいちばん小さくなるのは341mmのあたりで1.48度ですから、誤差だけを見ればここが底です。四節リンクの記事で見たとおり、伝達角の下限の目安は30度とも40度ともされていて、モデルの26.4度でさえ、すでにそれを下回っています。

同じ一節には、理想に近い切れ方を得るには、交わる位置を後車軸までの60%ほどに置く必要があるかもしれない、ともあります⁵。モデルで、小さな角度（外輪2度）の誤差が0になる位置を探すと、前車軸から244mm、ホイールベースの61%でした。ただ、この割合はアームの長さで動きます。ほかの寸法を変えずにアームを25mmにすると55%、100mmにすると73%です。しかも61%の置き方では、外輪26.0度で死点に届いてしまい、30度までは切れません。

論文は、台形リンクが正しくかじを取れるのは3つの位置だけだとしています¹。論文が説明しているのは直進と右に切った位置で、左右は対称なので、左にも1か所あります。モデルでは外輪33.58度で誤差が0を横切り、その先の35.44度が死点でした。340mmに寄せた形なら、0を横切るのは28.36度です。

結局、交わる位置の答えは、台車に何度まで切らせるかで変わります。外輪20度までしか使わないなら、ホイールベースの69%にあたる277mmに寄せると、20度までの最大の誤差は0.21度。20度での伝達角も34.4度残ります。目安どおりの400mmだと2.22度ですから、10分の1以下です。ただし死点は外輪28.4度まで下がるので、ストッパで20度に止める前提の寸法です。

冒頭の42.74度に、後車軸の中心へ向けた台形リンクは39.99度まで近づきました。30度まで切る台車なら、届かない2.75度は、伝達角の余裕と引き換えに受け入れる差なのかもしれません。

2026年11月9日 更新：ワークを載せた台車の旋回で車輪が通る範囲と部品どうしのクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. V. Chitti Babu、P. Govinda Rao、K. Santa Rao、B. Murali Krishna「Design of Accurate Steering Gear Mechanism」Mechanics and Mechanical Engineering 22巻1号（2018年）p.93〜103（2026年10月31日に確認）。4つの車輪が後車軸の線の上にある同じ瞬間中心のまわりに回るという条件、中心がそろわないと前輪か後輪がすべってタイヤの摩耗が増えること、式 cot Φ − cot θ = c/b（cは前車軸の2つの支点の距離、bはホイールベースで、車輪の間隔aとは別）はp.95、正しくかじを取れる位置が3つだけという説明はp.96〜97にあります。 ↩ ↩ ↩ ↩

2. 米国特許第4,875,697号「Variable wheelbase length steering linkage」（1989年10月24日発行、Navistar International Transportation Corp）。Google Patentsの背景の段落を読みました（2026年10月31日に確認）。横すべりなしに曲がるには、すべての車軸の延長線がいつも1点で交わる必要があることと、ナックルアームを内側かつ後ろへ傾けるのがよくある形だということが書かれています。 ↩

3. F. Peñuñuri、R. Peón-Escalante、C. Villanueva、D. Pech-Oy「Optimum Synthesis of Mechanism for single- and hybrid-tasks using Differential Evolution」（arXiv、2011年）の7章（2026年10月31日に確認）。とてもゆっくり走るときに横すべりなしで曲がれる運動学の条件であることと、四節リンクで条件を完全に満たせるものは無いことが書かれています。 ↩ ↩

4. Carl Graf von Klinckowstroem「Ackermann, Rudolf」Neue Deutsche Biographie 1巻（1953年）p.36。Deutsche Biographieのオンライン版を読みました（2026年10月31日に確認）。特許の年、ランケンスペルガーが1816年に考えた車軸の動くかじ取りであること、1953年の時点でも自動車の業界でアッカーマン式と呼ばれていたこと、アッカーマンが馬具と馬車の職人としてドイツ、フランス、イギリスを回り、ロンドンに住んで美術品の店を開いたことは、この項目によります。 ↩

5. John C. Dixon「Tires, Suspension and Handling」（SAE、1996年）p.294。本は手元にないため、人力の乗り物の団体IHPVAのサイトにある三輪車の前まわりについての投稿のまとめで、投稿者が引用した文を読みました（2026年10月31日に確認）。延長線を後車軸で交わらせれば本当のアッカーマンの角度になると広く信じられているが実際にはほど遠いこと、実際の切れ方はアームの角度、ラックの長さと前後の位置、切れ角などで複雑に変わること、まっすぐなタイロッドで理想に近い割合を得るには交わる位置を後車軸までの60%ほどに置く必要がありうること、の3点です。引用された文はラックで左右のタイロッドを動かす形が前提で、本文のモデルの1本のタイロッドとは形が違います。Dixonはこの作図をジャントーの図（Jeantaud diagram）と呼んでいます。 ↩ ↩ ↩ ↩