パラレルリンクロボットでワークを移載する、届く範囲と経路のクリアランス、逆運動学

パラレルリンクロボットでワークを移載するとき、最初に決めるのは、ワークの取り出し位置と載置位置、ワークの高さです。そのあいだを通過するときに、ワークやコンベヤとどれだけクリアランスを取るかも決めます。これらは顧客のワークとラインの配置で決まるので、ワークの寸法・質量・高さのばらつきとあわせて、先に客先に確認する項目です。ロボットの側で決まるのは、その位置に届くか、届く位置で腕をどれだけ速く回す必要があるか、点と点のあいだを先端がどんな経路で通過するかです。

このモデルでは、先端のペンに半径80mmの円と一辺160mmの四角をなぞらせて、この3つを計算しました。3つのモーターの角度は腕1本ずつ別々に出せます。ひじが回る円と、先端の継手を中心にした球が交わる点を探せば、その腕を何度に回すかが決まるからです¹。円を1周させると、腕3本はどれも18.47°から61.81°のあいだを往復しました。

寸法は、市販の製品を写さずに決めました。上腕は120mm、下腕は280mmです。ベースの中心からモーター軸までは100mm、先端で動く台（以下、可動台）の中心から継手までは35mmで、下腕は56mm離した棒2本でできています。腕1、腕2、腕3は120°おきに並び、角度θは水平から下向きを正にとりました。可動台はz = −300mmの高さを動き、前半8秒で円を、後半8秒で一辺160mmの四角をなぞります。次の3Dでは、腕3本の角度が場所によってどう違うかを見てください。

球面継手は模式で、玉を棒の端の球が包む形にしました。動作中から16コマ、届く範囲の端で8か所を選び、部品どうしの干渉体積をブーリアン演算で計算すると、腕と棒と可動台のあいだはどれも0mm³です²。別の腕の棒どうしがいちばん近づくのは、可動台の上で隣り合う継手の部分で、軸と軸の距離は32.62mmです。動作中に、これより近づく箇所はありませんでした。

取り出し位置と載置位置は、直径290mm・高さ86mmの円柱に収める

腕は、どこまでも回せるわけではありません。このモデルでは、腕を使う範囲を、水平から上へ30°、下へ90°の真下までと仮に決めました。上へ32.97°（θ = −32.97°）まで上げるとベースに干渉するので、その手前で止めています。

次の図は、腕1を通る縦の面で、届く範囲を切ったものです。橙色に塗った範囲の下端が、灰色で描いた線にほとんど接しているところを見てください。

灰色の線は、上腕の延長上に下腕が並び、腕が伸びきる位置です。これより下へは、角度をどう選んでも届きません。可動台が中心にあるとき、腕が90°になる高さはz = −392.35mmで、伸びきる高さの−394.68mmまで、あと2.33mmしかありません。

製品のカタログは、動作範囲を直径と高さで書くことがあります。ファナックのDRシリーズのカタログも仕様表は直径と高さで、図では、円柱の下に下へすぼまる部分が続く形を描いています³。下ほど細くなるのは、このモデルの断面と同じです。ここでは比べやすいように、範囲に収まる円柱を、高さを決めて探しました。

円柱の高さ	入る直径
50mm	343mm
86mm	290mm
100mm	266mm
150mm	168mm

体積がいちばん大きくなるのは高さ86mmから89mmのあたりで、どれも約5.69Lとほとんど変わりません。高さ86mmの円柱なら、z = −219mmから−305mmに収まります。例として、可動台の中心がz = −300mmの高さでワークを置くとすると、それより上で使える高さは −219 − (−300) = 81mmです。ワークを持ち上げて移載する量は、この81mmの中で決めることになります。高さを100mmから150mmへ伸ばすだけで、直径が266mmから168mmへ4割近く細くなります。取り出し位置と載置位置の高さの差が大きい用途なら、腕の長さから考え直すことになりそうです。

範囲の端に近い位置では、腕を速く回す必要がある

可動台を同じ速さで動かしても、腕の角速度は場所で変わります。下腕の長さが変わらないという式を時間で微分すると、腕iの角速度ωiが出ます⁴。

ωi = (si·v) ÷ (si·bi)
v  : 可動台の速度
si : 下腕の向きのベクトル（長さ280mm）
bi : 腕の角度が1rad増えたときに、ひじが動くベクトル（長さ120mm）

3本分を並べると、可動台の速度を腕の角速度へ変換する行列になります。ロボット工学でいうヤコビ行列の逆行列です。分子のsi·vは可動台を下腕と同じ向きに動かすとき最も大きくなるので、どの向きに1m/sで動かしても、腕の角速度は1 ÷ (LA cos γ)を超えません。γは、下腕と、ひじが動く向きとがなす角です。

可動台が中心にあってz = −300mmのとき、γ = 1.22°で、下腕は上腕とほぼ直角に交わっています。上限は8.335rad/sで、1m/sを120mmで割った8.333rad/sとほとんど同じです。ひじが先端と同じ速さで動けば足りる、いちばん負担の小さい姿勢です。

ところが、腕が伸びきる位置に近づくと、γは90°に近づき、cos γは0に近づきます。次のグラフは、可動台が中心にあるときの角速度を、高さごとに計算したものです。左端で線が急に立ち上がるところを見てください。

上下に1m/sで動かすときの角速度は、z = −279.5mmで最も小さい6.69rad/sですが、下端では34.92rad/sまで増えました。5.2倍です。モーターの回転速度には上限があるので、下端の近くでは、先端の速度を5分の1ほどに落とすしかありません。

作業面の中でも、同じことが起きます。次の図は、z = −300mmで水平に切った範囲に、角速度の上限が中央に比べて1.25倍と1.5倍になる線を重ねたものです。腕がある方向で、破線と点線が縁から内側へ離れているところを見てください。

範囲はおむすびのような形で、腕がある方向へは中心から174.5mm、腕と腕に挟まれた方向へは149.5mm届きます。ただ、遠くまで届く方向ほど、縁では腕を速く回さなければなりません。腕がある方向の縁で上限は中央の約1.8倍、挟まれた方向の縁では1.30倍でした。

円と四角をなぞる経路の上では、上限は8.66〜9.46rad/sで、中央に比べて1.14倍以内です。取り出し位置と載置位置をこの大きさの四角の中に置けば、場所による差はほとんど気にしなくてよいでしょう。ここで出した角速度は寸法から計算した目安で、モーターと減速機を決める最終の判断は、メーカーの資料と設計基準で行ってください。

隅の角度を比例で結ぶと、経路は12.44mm外れる

移載では、取り出し位置と載置位置の2点だけを逆運動学で解き、そのあいだは3つのモーターを次の点の角度まで一定の割合で回せば済むように見えます。ところが、それでは先端は直線上を進みません。四角の四隅で確認しました。

次のグラフは、動画の16秒で腕3本がどう回るかを、コマごとに逆運動学で計算したものです。11秒から13秒にかけての、橙色の腕1を見てください。

この2秒間、先端はx = −80mmの辺を直線で進んでいます。腕1は辺の両端の隅で67.71°なのに、辺の中ほどでは61.81°まで戻ります。隅で解いた角度を比例で結ぶと、腕1は67.71°のまま止まり、腕2と腕3は14.93°と55.80°を入れ替えるだけです。

比例で動かしたときを順運動学で追うと、先端は辺の中ほどで直線から12.44mm外れました。下へ11.31mm沈み、外側へも5.17mmふくらんでいます。このモデルのペン先と紙のクリアランスは2mmもないので、計算上はペンが紙を突き破ります。ワークを把持して移載する場合も、2点の角度を比例で結べば、そのあいだで先端は直線から外れます。この辺と同じ2点なら先端は下へ11.31mm沈むので、そのあいだにあるワークやコンベヤとのクリアランスがこれより小さければ干渉します。直線で移載したいなら、このモデルのように経路を細かく区切り、点ごとに角度を解くことになります。

動作中の経路とワークのクリアランスは、時刻を追って確認する必要があります。装置設計の支援アプリ MEKARIQ では、工程表の時刻をスライダで動かして、動作中のクリアランスを確認できるように作られています。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。ワーク高さのばらつきのように AI が決めきれない条件は、客先への確認事項として一覧にします。

動画では、ペンが紙に描かれた円と四角をなぞります。

可動台が傾かないのは、棒が2本ずつ3組あるから

腕3本で可動台を動かすこの形はデルタロボットとも呼ばれ、クラベル（Reymond Clavel）が1985年にスイスで出願した特許が元になっています。特許には、腕がどう動いても、動く台は自分自身と平行のままだと書かれています⁵。ワークの姿勢を保ったまま移載できるのはこの性質によります。では、球面継手でつないだ棒で、なぜ可動台が傾かないのでしょうか。

下腕の棒2本は長さが同じで、上側どうし、下側どうしの継手の間隔もそろえて56mmにしてあります。4つの継手を結ぶと平行四辺形になり、可動台の辺はモーター軸と平行に保たれます。

ただ、1組の平行四辺形だけでは、可動台を拘束しきれません。継手が球面なので、棒の向きを軸にしたねじれと、可動台の辺を軸にした回転は、棒の長さを変えずにできてしまいます。1組で拘束されるのは、腕が回る面の中で、棒に直角な軸まわりの回転だけです。この向きに回そうとすると、片方の継手は棒に沿って上へ、もう片方は下へ動き、棒が伸び縮みしなければならなくなります。

腕3本は120°ずつ向きが違うので、拘束する軸も3本で別の向きを向きます。可動台が中心にあってz = −300mmのとき、3本の軸はどれも水平から35.2°傾き、水平な成分は120°ずつずれていました。3つの向きの回転がすべて拘束され、可動台はどの向きにも回転できません。

計算でも、同じことが分かります。棒6本の長さが変わらないという6つの式を速度の形にして、モーターを自由に回せるとき、可動台がどの向きへ動けるかを数えました。棒6本なら、可動台が動けるのは前後と左右と上下の3つだけで、回転の自由度は残りません。計算の上で腕1の棒を1本外すと、動ける向きは4つに増え、増えた1つは可動台が回転する向きでした。3本の腕をどれも棒1本にすれば、可動台は3つの軸のどのまわりにも回転できます。

ただし、注5の特許には、棒を1本にして、両端をカルダン形の継手にした形も載っています。棒を2本ずつにするのは、このモデルのように球面継手でつなぐ場合の答えです。

平行四辺形には、もう1つ確認する数値があります。球面継手の振れ角です。可動台が腕の回る面から横へずれると、棒はその分だけ横へ傾き、傾く角ψはsin ψ = 横のずれ ÷ 280mmで決まります。なぞる経路の中でψが最も大きいのは四角の隅（80, −80）で、腕3の棒が横へ109.28mmずれ、ψは22.97°です。このモデルの継手は模式で振れ角の制限を入れていませんが、実物の継手を選ぶときは、この角が製品の許容振れ角に収まるかを確認することになります。

腕の角度は、円と球の交点で決まる

可動台がp = (x, y, z)にあれば、下腕の下端にある継手の位置も決まります。可動台は傾かないので、継手はいつも可動台の中心から、腕がある方向へ35mmずれた位置にあるからです。

一方、ひじはモーター軸を中心とする半径120mmの円周上しか動けません。下腕は280mmなので、ひじは継手を中心とする半径280mmの球面上にもあります。円と球が交わる点がひじの位置で、そこから角度が出ます。先端の位置から腕の角度を求めるこの計算を、逆運動学と呼びます。腕ごとに別々に解けるのは、脚1本ごとに長さを出すスチュワートプラットフォームと同じです。

腕ごとの座標に直すと、これは平面の問題になります。x'は中心から腕へ向かう向き、y'はモーター軸の向きです。球を腕が回る面で切ると半径√(280² − y'²)の円になり、残りは円と円の交点を求めるだけです。式にすると、次のようになります。

x' = x cos φ + y sin φ       φ は腕の方位（0°, 120°, 240°）
y' = −x sin φ + y cos φ
e  = x' + r − R               モーター軸から見た継手の水平位置（R = 100, r = 35）
K  = (LB² − LA² − e² − y'² − z²) ÷ (2 LA)     LA = 120, LB = 280
−e cos θ + z sin θ = K
θ  = β ± acos(K ÷ ρ)          β = atan2(z, −e), ρ = √(e² + z²)

円を描き始める点（80, 0, −300）に可動台があるとき、腕2で計算しました。

x' = −40.00   y' = −69.28   e = −40 + 35 − 100 = −105.00
K  = (78,400 − 14,400 − 11,025 − 4,800 − 90,000) ÷ 240 = −174.27
ρ  = √(105² + 300²) = 317.84   β = −70.71°   acos(K ÷ ρ) = 123.25°
θ  = −70.71° + 123.25° = 52.54°   もう1つの解は 166.04°

解は2つ出ますが、使うのはひじが外を向く52.54°のほうです。166.04°は、ひじを内側へ折り込んだ形です。同じ点で、腕3は腕2と対称なので52.54°です。腕1はy' = 0で式が簡単になり、18.47°です。

先端位置は、3つの球の交点で決まる

逆に、3つの角度から可動台の位置を求めるのが順運動学です。角度が決まれば、ひじBiも決まります。そこから中心側へ35mmずらした点Ciを中心に、半径280mmの球を3つ描くと、その交点が可動台の中心になります¹。可動台が傾かないので、継手のずれを球の中心側へまとめて移せるわけです。

解くときは、球を表す式どうしを引き算するのが早道です。2乗の項が消えて平面を表す式が2本残り、xとyはzの1次式で書けます。これを1つ目の球の式へ戻せば、zについての2次方程式になります。

上で求めた角度（18.47°, 52.54°, 52.54°）から計算しました。

C1 = (178.82, 0, −38.02)
C2 = (−68.99, 119.50, −95.25)
C3 = (−68.99, −119.50, −95.25)
2(C2 − C1)·p = |C2|² − |C1|²  →  −495.62x + 239.00y − 114.47z = −5,308.35
2(C3 − C1)·p = |C3|² − |C1|²  →  −495.62x − 239.00y − 114.47z = −5,308.35
y = 0, x = −0.230965z + 10.7105
1.0533z² + 153.689z − 48,694.33 = 0  →  z = −300.000 または 154.09

下の解z = −300.000を戻すとx = 80.000となり、最初の点に戻りました。上の解154.09mmは、可動台がモーター軸より上に来る形です。組み立てたロボットでは選ばない側なので、いつも下の解を使います。

往復の誤差も確認しました。480コマすべてで、位置から角度、角度から位置へ往復させると、ずれは最大1.9×10⁻¹³mmでした。届く範囲を10mmおきに区切った14,974点でも3.0×10⁻¹³mmです。どちらも計算機の丸め誤差と同じ桁で、式としての誤差は0です。

半径80mmの円は、腕を18.47°から61.81°まで往復させれば描けました。この円をz = −300mmに置いたのは、下腕が上腕とほぼ直角になり、腕の角速度がいちばん小さくて済む高さだからです。作業面をどの高さに置くかは、ワークの高さと届く範囲の広さだけでなく、腕の角速度からも決められます。

2026年11月9日 更新：ワークの取り出し位置・載置位置と移載経路のクリアランスを中心に、業界の用語で構成と表現を書き直しました。

注

1. R.L. Williams II「The Delta Parallel Robot: Kinematics Solutions」（Ohio University、2016年10月）p.11、p.13。逆運動学を腕ごとに円と球が交わる点として、順運動学を3つの球が交わる点として解いています。2026年10月31日に確認。 ↩ ↩

2. 継手でつながる部品どうしは、玉と包む球が形の上で重なるので、継手の中心から半径10mm以内を除いて数えました。調べたのは外接する箱が重なる組で、24の姿勢で合わせて600組です。机は作業面に合わせて置いたため、台が中心にあって最も下がった姿勢では、可動台と棒の端が机にめり込み、ペンは机を突き抜けます。その姿勢でも、腕と棒と可動台のあいだの干渉体積は0mm³でした。 ↩

3. ファナック「FANUC Robot DRシリーズ」カタログ（2026年5月版）。p.3の仕様表は動作範囲を直径と高さで書き、動作領域の図では、円柱の下に、下へすぼまる部分が続いています。同じページに、制御軸が3軸の機種と、先端を回す軸を足した4軸の機種が載っています。2026年10月31日に確認。 ↩

4. 同じ形の速度の式は、注1の資料のp.15にあります（資料は3本ぶんを行列の形で書いています）。1 ÷ (LA cos γ)の上限は資料には無く、|si·v| ≤ |si||v|から編集部で導きました。 ↩

5. US4976582A「Device for the movement and positioning of an element in space」（Google Patents）。発明者はReymond Clavel、優先日は1985年12月16日のスイスの出願で、1990年12月11日に登録されています。2026年10月31日に確認。 ↩