脱進機の仕組み。アンクルのつめのロックと落ち、軸の距離の公差を計算

がんぎ車の歯が30枚なら、振り子を1往復2秒にすると、その軸に付けた針がそのまま秒針になります。振り子が片側へ1回振れる1秒ごとに、アンクルのつめが歯を半歯ぶん、角度にして6°だけ逃がすからです。そのための振り子の長さは約994mm。

脱進機は、おもりの力で回転しようとする歯車に、振り子と連動する2つのつめを交互にかみ合わせ、歯車を少しずつ回転させる機構です¹。回転しようとする歯車をがんぎ車、つめの付いた部品をアンクルと呼び、2つのつめは入りづめと出づめに分かれます²。

装置の設計に読み替えるなら、例として、シュートに並んだワークを1個ずつ送り出す切り出し機構が近い構成です。2つのストッパを交互に出し入れし、片方が先頭のワークを止めているあいだに、もう片方が先頭と2個目のワークの間に入ります。この読み替えでは、この記事のロック（つめが歯にかかる量）をストッパのかかり代に、軸の距離の公差をストッパの取付位置の公差に対応させて読めます。ただし、この記事で計算しているのは時計のがんぎ車とアンクルで、ワークの寸法やピッチのばらつきは入っていません。ピン1本と速度差で切り出す別の方式の例は、ピック&プレースの記事にあります。

次の3Dでは、振り子が振れるたびに、がんぎ車が止まっては進む動きを見てください。

このモデルでは、30歯のがんぎ車と、停止面を円弧にした直進式のアンクルを、自前の寸法で組みました。歯の形は模式です。本物の振り子は長さ約994mmで、先におもりが付きます。3Dでは振り子をアンクルの軸に直接付け、棒の上側220mmだけを描いて、おもりは省きました。

動きは物理のシミュレーションではありません。振り子の角度を±3°、周期2秒の正弦波で与え、がんぎ車のほうは「歯先がつめの面に接触するところまで進む」として、歯とつめの形から角度を解きました。モデルでは、歯先がつめの面の0.05mm手前で止まるとしています。力や慣性は入っていないので、歯が離れてから次のつめに接触するまでの速さは本物と違います³。

7.5歯をまたぐと、つめが交互に働く

アンクルはがんぎ車の歯を7.5枚ぶんまたぎます。半端な0.5があるので、片方のつめが歯を止めているとき、もう片方は歯と歯の間のちょうど真ん中にいます。

アンクルの軸Pは、がんぎ車の軸Oから真上へ56.57mmに置きました。半径40mmをcos45°で割った値で、45°はアンクルがまたぐ90°の半分にあたります。こうすると、軸Pから引いた線が、つめの位置でちょうど歯先の円に接します。次の図では、青い点線がつめのところで円に接しているかを見てください。

線が円に接するので、つめの位置で歯先が進む向きは、ちょうど軸Pを向きます。つめのほうは、歯の通り道を直角に横切るように出入りします。

1回振れるあいだに起きることを、モデルの角度の順に追うと次のとおりです。振り子の角度は、入りづめが外へ逃げる向きを＋としています。

1. 歯先が入りづめの止める面（停止面）に当接し、がんぎ車が止まる⁴。
2. 振り子が戻ってきて−0.5°を過ぎると、歯先がつめの角に来て、止めが外れる。
3. 歯先がつめの押す面（衝撃面）を滑り、つめを押しのけながら進む。振り子が−0.5°から1.5°まで動く2°のあいだに、がんぎ車は4.58°回転する。
4. 1.5°で歯先がつめから離れ、がんぎ車は何にも接触せずに1.42°回転する。
5. 次の歯が出づめの止める面に当接し、また止まる。

振り子の片道、つまり1打ちで、がんぎ車は4.58°と1.42°を足して6°進みます。振り子が戻るときは出づめが同じことをするので、1往復で12°、つまり歯1枚ぶんです。ここからは、4の空回りを「落ち」、1から2までのつめの入り込みを「ロック」と呼びます。このモデルのロックは、アンクルの回転で1°、つめの面の上で約0.73mmです。

1打ち（振り子の片道 1 s）  360 ÷ 30 ÷ 2 = 6°
1歯ぶん（1往復）          周期 T = 2 s
がんぎ車の1回転           30 × 2 = 60 s

60秒で1回転し、1秒に6°ずつ進む。軸に針を付ければ、目盛り1つずつ跳ぶ秒針です。モデルの地板には60の目盛りを付け、止まったときに針が目盛りにぴたりと合うよう、針の向きをそろえました。動画では、振り子が1回振れるたびに、針が1目盛りずつ進む様子を見てください。

周期2秒の振り子は993.6mm

振れ幅が小さいとき、単振り子の周期Tは、長さLと重力加速度gから T = 2π√(L/g) で決まります⁵。gに標準重力の9.80665m/s²を入れて⁶、Lについて解きました。

L = g T² ÷ (4π²)
  = 9.80665 × 2² ÷ 39.478 = 0.99362 m（993.6 mm）

歯数を変えると、合う振り子も変わります。がんぎ車を60秒で1回転させるなら、周期は60 ÷ 歯数です。

歯数	周期（片道）	振り子の長さ
20	3秒（1.5秒）	2,235.6mm
24	2.5秒（1.25秒）	1,552.5mm
30	2秒（1秒）	993.6mm
40	1.5秒（0.75秒）	558.9mm
48	1.25秒（0.625秒）	388.1mm
60	1秒（0.5秒）	248.4mm

歯数を2倍にすると、振り子の長さは4分の1になります。長さが周期の2乗に比例するからです。30歯で993.6mmだった振り子が、60歯なら248.4mm。ただし片道で進む角度も6°から3°に減るので、同じ大きさのがんぎ車なら、歯もつめも半分の細かさで作ることになります。

では、長さが少し狂うと、時計はどれだけずれるでしょうか。周期は長さの平方根に比例するので、長さが1mm違えば、周期は約0.05%違います。

1mm 長いとき   86,400 × 0.5 × 1 ÷ 993.62 = 43.5 s/日 遅れる
1日に1秒以内   993.62 × 2 ÷ 86,400 = 0.023 mm

1mmで1日43.5秒です。しかも、gも場所によって違います。注5の資料にある東京でのg、9.798m/s²を入れて解き直すと、合う長さは0.9mm短い992.7mm。標準重力で合わせた993.6mmのまま東京で動かすと、1日に約38秒遅れます。長さを計算だけで詰めるより、周期を測ってから合わせられるよう、おもりの高さを調整できる構造にしておくのが現実的でしょう。なお993.6mmは、細い糸の先に小さなおもりを付けた単振り子の値で⁵、棒の質量は入っていません。

振れ幅も、この桁では無視できません。上の式は振れ幅が小さいときの近似なので、近似を使わずに楕円積分で周期を計算し直しました。計算では、振れ幅3°での周期の延びは0.017%とわずかですが、1日にすると約15秒の遅れです。振れ幅をθ0（ラジアン）としたおよその式 (1 + θ0²/16) 倍でも、同じ値です。2秒に合わせる長さは、0.34mm短い993.3mm。振れ幅が3°から2.5°に減るだけでも、1日に約4.5秒進む計算でした。

歯が振り子を押すのは、1周期の22%

脱進機には、止めるほかにもう1つ役目があります。歯先が押す面を滑るあいだ、歯はつめを、振り子が動いている向きへ押しているのです。この押し（インパルス）が、振り子へ少しずつ力を返します。

押している時間は、振り子の角度の式から出せます。片道で−0.5°から1.5°までなので、次のとおりです。

押す時間（片道）  T ÷ 2π × (asin(1.5/3) − asin(−0.5/3)) = 0.22 s
1周期の割合       0.22 × 2 ÷ 2 = 22%

残りの78%は、歯先が止める面に乗って止まったまま。押しているあいだは、つめが2°回転するうちに、がんぎ車が4.58°回転します。摩擦を除いて仕事のつり合いで考えると、アンクルが受けるトルクは平均で、がんぎ車にかかるトルクの2.29倍です。

がんぎ車が1打ちで回転する6°のうち、押すのに使われるのは4.58°で76%。残りの1.42°は落ちで、何も押さずに空回りします。それなら落ちは0にしたほうがよいのでしょうか。

でも、そうはいきません。歯を放したつめは、振り子が戻ってくると、放したばかりの歯のすぐ後ろへもう一度入っていきます。落ちは、そのための逃げです。たとえば、つめの幅を3.5mmにすると、落ちは0.98°に縮みます。このとき歯の背を真っすぐな斜面にしておくと、振り子が戻る途中の1°付近で、入りづめが放したばかりの歯の背に干渉します。このモデルでは、つめの幅を3.2mmにして落ちを1.42°に広げ、歯の背を先のほうだけ立てて、つめの通り道に逃げを設けました。

止める面が円弧なら、歯は戻らない

直進式（デッドビート）とリコイル式（退却式）は、つめの止める面の形が違います⁷。次の図は、2つの形のつめを同じ寸法で作り、振り子が振れきった瞬間を並べたものです。黒い点線は、歯がつめに当接したときの位置。実線の歯とずれているかを見てください。

直進式の止める面は、アンクルの軸Pを中心とする円弧です。振り子がさらに振れてつめが深く入っても、歯先は円弧の上を滑るだけで、押し返されません。

一方、リコイル式は止める面と押す面が1枚の斜面です。歯が当接したあとも振り子が振れ続けると、斜面が歯を押し戻します。このモデルでは、入りづめで2.41°、出づめで1.85°戻りました。秒針の先（半径50mm）なら、入りづめで2.1mm、出づめで1.6mmの後戻りです。

がんぎ車の角度を時間で並べると、違いがはっきりします。グラフでは、オレンジの線の平らな段と、青い線のへこみを見比べてください。

リコイル式のがんぎ車は、1周期のうち64%で進み、31%で押し戻されていました。振り子は、歯に押されるか、歯を押し戻すかを、ほぼ1周期ずっと続けていることになります。直進式で振り子が回転する向きの力を受けるのは、押す面を滑る22%の時間だけです。残りの78%は、止まった歯先がつめの円弧の上を滑るだけで、歯から受けるのは滑りの摩擦です（このモデルは摩擦を入れていません）。セイコーミュージアム銀座の解説も、退却の余分な動きが秒針に伝わり、精度に「微妙な悪影響」を及ぼしていたと書いています⁸。

歴史の順は逆です。セイコーミュージアム銀座の解説によると、最初の振り子時計は1656年にホイヘンスが発明したもので、脱進機はまだ冠型でした。この形では、振り子の振れがどうしても30°以上になったといいます⁸。その後、フックが退却式のアンクル脱進機を考え、1671年ごろにクレメントが改良して広めます。振れが2〜4°で済むので、1mにもなる長い振り子を使えるようになりました⁸。

直進式は、1715年にグラハムがクロック用に発明したと、同じミュージアムの別のページにあります⁷。そのページは直進式を「秒針も後退せずにピタリと静止する」と書いていて、上のグラフの段そのままの姿です。もっとも、同じページには、発明したのはグラハムの師トンピオンで、グラハムは広めただけだという説も注記されています。

軸の距離は、0.5mmの幅に収める

最後に、組立の誤差を見ておきます。アンクルとがんぎ車の形はそのままにして、軸の距離56.57mmだけをずらし、ロックと落ちを計算し直しました。グラフでは、ロックの線が0を切る位置と、2本の落ちの線が開いていく様子を見てください。

軸が遠いと、つめが浅くなってロックが減ります。0.1mmあたり約0.2°です。+0.45mmでロックは0になり、歯は止める面に乗れず、いきなり押す面に落ちます。

近づけるとロックは増えますが、今度は片側の落ちが狭くなります。−0.19mmまで近づけると、戻ってくるつめが歯の背に干渉しはじめました。遠いほうでも、+0.33mmで反対側の落ちが狭くなり、同じように干渉します⁹。

このモデルの形なら、軸の距離のずれは−0.18〜+0.3mm、幅にして約0.5mmに収めることになります。ただ、これは干渉する手前ぎりぎりの範囲で、−0.18mmでのクリアランスは0.007mmしかありません。穴と軸のはめあいのすきまや歯の割り出しの誤差もこの幅に入るので、図面の公差はさらに内側に取ることになるでしょう。公差の積み上げで、これらを足した値がこの幅に収まるかを確認します。どちらも目安で、実際の部品では、最終の判断はメーカーの資料と設計基準によります。

歯とつめのように、動作の途中でクリアランスが変わる組は、装置設計の支援アプリ MEKARIQ でも確認できます。（MEKARIQ は、株式会社Anamorphosis Networks が開発している装置設計の支援アプリです。MANUFAC を制作する株式会社Game は、その開発を受託しています。この段落はその紹介です。）部品の組ごとに最短距離と必要クリアランスで干渉を判定し、干渉部を3Dで赤く表示します。工程表の時刻をスライダで動かすと、動作中のクリアランスを確認できます。

図面に書くO-Pの56.57mmは、歯数とまたぐ歯の数を決めた時点で決まる寸法です。そして、その寸法に許される幅を決めていたのは、ロックより、戻ってくるつめと歯の背のクリアランスでした。遠い側でも、ロックが0になる+0.45mmより手前の+0.33mmで、つめは歯の背に干渉していました。穴の位置の公差を決める前に、落ちと歯の背の形を固めておくのが近道でしょう。

2026年11月1日 訂正：本文で資料を指す注の番号が、ページの注の番号とずれていました（東京の重力加速度の資料など）。注の番号を本文に出てくる順にそろえ、指す先を直しました。

2026年11月9日 更新：つめのロックと歯の背のクリアランス、軸の距離の公差を中心に、業界の用語で表現を書き直し、装置の切り出し機構に置き換えて読む例を加えました。

注

1. 大阪市立科学館「月刊うちゅう」2021年1月号「展示場へ行こう 振り子時計」（2026年10月31日に確認）。 ↩

2. 日本機械学会誌 2007年12月号「メカライフ 腕時計 編」（2026年10月31日に確認）。腕時計の解説で、雁木（がんぎ）車、アンクル、入りづめ、出づめの名前はこの資料によります。振り子時計でもガンギ車とアンクルと呼ぶことは、注8の資料にあります。 ↩

3. がんぎ車の角度は1/480秒刻みで解きました。歯とつめの干渉は、1周期を1/30秒ごとに分けた60の瞬間と、歯が着く瞬間、止めが外れる瞬間の前後8つ、合わせて68の瞬間で、がんぎ車とアンクルの共通部分の体積をブーリアン演算で求めています。直進式もリコイル式も、すべて0mm³でした。がんぎ車を半歯ずらすと0.85mm³が出るので、重なりがあれば数字に出ます。瞬間のあいだの見落としがないよう、1/480秒ごとに正面の形で最短距離も測りました。歯の背とつめのすき間は、直進式で0.17mm、リコイル式で0.23mmが最小です。止める面の円弧は0.25°ごとの折れ線で作ったため、直進式でも止まっているあいだに0.0002°以下の揺れが残ります。3Dと動画に使う動きのファイルは回転を小数5桁に丸めて書くので、そちらでは最大0.0011°、秒針の先で0.001mmの揺れになります。 ↩

4. セイコーインスツル「脱進機、ムーブメント、および時計」特許第6091297号の明細書（2026年11月1日に確認）。腕時計の脱進機の特許で、つめの面を停止面、衝撃面と呼んでいます。 ↩

5. 慶應義塾大学 日吉物理学教室「重力加速度」（2008年9月1日の版、2026年10月31日に確認）。振れ幅が小さいときの式で、同じ資料は実験での糸の傾きを5°以内としています。 ↩ ↩

6. BIPM「Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901)」（2026年10月31日に確認）。標準重力の値は980.665cm/s²です。 ↩

7. セイコーミュージアム銀座「テンプの発明とシリンダー脱進機」（2026年10月31日に確認）。トンピオンの説も同じページの注記によります。 ↩ ↩

8. セイコーミュージアム銀座「振り子時計の誕生」（2026年10月31日に確認）。 ↩ ↩ ↩

9. アンクルの形を軸のまわりに固定したまま、軸の位置だけを上下に動かして1周期を解き直しました。歯とつめの重なりは、1/480秒ごとに正面の形で最短距離を測って求めています。すき間は−0.18mmで0.007mm、+0.3mmで0.028mm、+0.32mmで0.008mmで、−0.185mmと+0.33mmでは0になります。1/60秒ごとの干渉の体積だけで見ると、当たりはじめが−0.2mmと+0.35mmに遅れて見えます。ロックと落ちの値は、歯先の円とつめの円弧の交点から求めています。 ↩